$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}$

sn関数の一価性

今回は$\mathrm{sn}$関数の一価性を証明する。

つまり、$c$を任意の一数とするとき

\[u=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{\left(1-z^2\right)\left(1-k^2z^2\right)}}=c\]

のような積分路$\left(0-z\right)$が$R$面上に必ず一つだけ存在することを示す。

まず$R$面に$A$、$B$の二つの切断線を入れて$R^\prime$面とする。$A$、$B$の交点に集まった$R^\prime$面の四隅を$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$と名付ければ

\[\begin{array}{ll}\displaystyle\int_\alpha^\beta=\int_{\left(A\right)}=4K,&\displaystyle\ \ \int_\beta^\gamma=\int_{\left(-B\right)}=2iK\\\displaystyle\int_\gamma^\delta=\int_{\left(-A\right)}=-4K,&\displaystyle\ \ \int_\delta^\alpha=\int_{\left(B\right)}=-2iK\end{array}\]

よって$v=\frac{1}{4K}u$とおけば、$R^\prime$面の周囲（すなわち$A$、$B$の両端）は$v$平面上において曲線平行四辺形に写像される。ただし、$\alpha^\prime$、$\beta^\prime$、$\gamma^\prime$、$\delta^\prime$はそれぞれ$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$の写像で、

\[\beta^\prime=\alpha^\prime+1,\ \ \gamma^\prime=\alpha^\prime+1+\tau,\ \ \delta^\prime=\alpha^\prime+\tau\]

である。$\tau$は$2iK^\prime\div4K$を表す。

ここで$1$、$\tau$を周期とする$\vartheta_1$関数を考え、

\[\vartheta_1\left(v-\frac{c}{4K}\right)\]

を$z$の関数と考えたとき$R^\prime$面内に零点をいくつもつかを調べよう。それは関数論で知られるように

\[N=\frac{1}{2\pi i}\int_{R^\prime}\frac{\displaystyle\frac{d}{dz}\vartheta_1\left(v-\frac{c}{4K}\right)}{\displaystyle\vartheta_1\left(v-\frac{c}{4K}\right)}dz\]

を計算すればよい。変数を$v$とすれば

\begin{eqnarray*}N&=&\frac{1}{2\pi i}\int\frac{\displaystyle{\vartheta_1}^\prime\left(v-\frac{c}{4K}\right)}{\displaystyle\vartheta_1\left(v-\frac{c}{4K}\right)}dv\\&=&\frac{1}{2\pi i}\left\{\int_{\alpha^\prime}^{\beta^\prime}+\int_{\beta^\prime}^{\gamma^\prime}+\int_{\gamma^\prime}^{\delta^\prime}+\int_{\delta^\prime}^{\alpha^\prime}\right\}\end{eqnarray*}

となる。従って、

\[\displaystyle\frac{{\vartheta_1}^\prime\left(v+1\right)}{\vartheta_1\left(v+1\right)}-\frac{{\vartheta_1}^\prime(v)}{\vartheta_1(v)}=0,\ \ \ \displaystyle\frac{{\vartheta_1}^\prime\left(v+\tau\right)}{\vartheta_1\left(v+\tau\right)}-\frac{{\vartheta_1}^\prime(v)}{\vartheta_1(v)}=-2\pi i\]

だから、

\[\int_{\alpha^\prime}^{\beta^\prime}+\int_{\gamma^\prime}^{\delta^\prime}=2\pi i,\ \ \ \int_{\beta^\prime}^{\gamma^\prime}+\int_{\delta^\prime}^{\alpha^\prime}=0\]

したがって$N=1$を得る。すなわち

\[\vartheta_1\left(v-\frac{c}{4K}\right)=0\]

にする$z$がただ一つ$R^\prime$面内に存在する。その$z$に対して$v-\frac{c}{4K}=m+n\tau$である。ここで$m$、$n$はある（任意ではない）整数を表す。両辺に$4K$をかけて移項すれば

\[u=c+m4K+n2iK^\prime\]

となる。さて、このように、$u$にこのような値を与える積分路$\left(0-z\right)$が$R^\prime$面内に存在するのだから、その両辺をそのままとし途中を変えてさらに$A$、$B$をそれぞれ適当な方向に$m$、$n$回横切るような積分路とすれば確かに\[u=c\]にすることが出来るはずである。その積分路は一般には$R^\prime$面内にはないが、$R$面内には存在していることが言える。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017