$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$
$\def\rmd{\mathrm{d}}$

古典力学02

運動量保存則

運動方程式$\dot{\bm{p}}=\bm{F}$より、外力が働いていない系では運動量が保存することが直ちに分かる。

力学的エネルギー保存則

時間変化しない力の場（保存力）の下での運動では、運動エネルギー$K$とポテンシャルエネルギー$U$の和（力学的エネルギー）が保存する。問題に応じて運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを正しく書き下すことが重要である。

• 並進方向の運動エネルギー
  $$\begin{equation} K_{\text{trans}}=\dfrac{1}{2}mv^2 \end{equation}$$
• 回転方向の運動エネルギー：
  $$\begin{equation} K_{\text{rot}}=\dfrac{1}{2}I\omega^2 \end{equation}$$
• 重力のポテンシャルエネルギー：
  $$\begin{equation} U_{\text{grav}}=-\dfrac{GMm}{r} \end{equation}$$
  特に地球上なら地球の半径を$R$として$U_{\text{grav},\oplus}=mgh,~g = GM/R^2$。
• バネのポテンシャルエネルギー：
  $$\begin{equation} U_{\text{spring}}=\dfrac{1}{2}kx^2 \end{equation}$$

保存力とポテンシャルエネルギー

ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）は以下で定義される。
$$\begin{equation} \Delta U=-\displaystyle\int_a^b\bm{F}\cdot\rmd\bm{l} \end{equation}$$
逆にポテンシャルエネルギーが分かっている場合は、以下の式で計算することで力を計算することができる。
$$\begin{equation} \bm{F}=-\nabla U \end{equation}$$
特に万有引力の場合は以下の通り。
$$\begin{equation} \bm{F}_{\text{grav}}=\dfrac{GMm}{r^2}\hat{\bm{r}},~U_{\text{grav}}=-\dfrac{GMm}{r} \end{equation}$$

粒子の運動エネルギーは$K(x)=E-U(x)$であらわされる。粒子が運動の向きを逆転させる点、すなわち、$K(x)=0$の点を転回点と呼ぶ。また、粒子が平衡状態となる点、すなわち、$U'(x)=-F(x)=0$の点を平衡点と呼ぶ。

仕事とエネルギーの関係

仕事の一般的な定義式は以下で与えられる。
$$\begin{equation} W=\int\bm{F}\cdot\rmd\bm{l} \end{equation}$$
一般には仕事$W$は移動経路に依存するが、特に経路に依存しないような力の場を保存力という。微小区間での経路変更に伴って仕事が変化しないことが保存力の条件であるから、$\nabla\times\bm{F}=\bm{0}$であれば力$\bm{F}$は保存力である。

定義から、仕事とは系に作用する外力によって生ずる系のエネルギー変化である。系の中で保存力が物体に対して$W$の仕事をするとき、系の力学的エネルギーの差は系全体が外部からされた仕事に等しい。
$$\begin{equation} E_{\text{initial}}+W_{\text{other}}=E_{\text{final}} \end{equation}$$
ポテンシャルエネルギーの定義より、次のように言い換えることもできる。系の中で保存力が物体に対して$W$の仕事をするとき、系全体の運動エネルギーの変化は、系全体になされた正味の仕事に等しい。
$$\begin{equation} W=\Delta \text{K.E.} \end{equation}$$

角運動量保存則

質量$m$の質点が速度$\bm{v}$で動いているときの運動量$\bm{p}$は$\bm{p}=m\bm{v}$で定義される。これを用いて、原点からの質点の位置を$\bm{r}$として、原点まわりの角運動量ベクトル$\bm{L}$は、
$$\begin{equation} \bm{L}=\bm{r}\times\bm{p}=m\bm{r}\times\bm{v} \end{equation}$$
で定義される。同様に、慣性モーメントが$I$の剛体が軸まわりに角速度$\bm{\omega}$で回転しているときの角運動量は、
$$\begin{equation} \bm{L}=I\bm{\omega} \end{equation}$$
で定義される。質点の場合について角運動量の時間変化を具体的に計算すると、

$$\begin{equation} \dfrac{\rmd \bm{L}}{\rmd t}=\bm{r}\times\dfrac{\rmd \bm{p}}{\rmd t}=\bm{r}\times\bm{F} = \bm{N} \end{equation}$$

が成立する。ここで、$\bm{N}$は力のモーメント、あるいはトルクと呼ばれる量である。これより、角運動量の時間変化は与えられた力積モーメント$\int_{t_0}^{t_1}\bm{N}\rmd t$に等しいということができる。また、$\bm{F}\parallel\bm{r}$のとき角運動量は保存する。このような力$\bm{F}(r)$を中心力という。すなわち、中心力問題では角運動量が保存する。