$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

古典力学06

解析力学は大学のカリキュラムによるが1年後期～2年後期のいずれかに学ぶことが多い。解析力学ではニュートンの運動方程式をオイラー・ラグランジュの運動方程式とハミルトンの正準運動方程式という形に書き換える。このあと見ていくように、これによって対称性という考え方から保存則が見やすくなる。解析力学も最低限要求される前提知識はニュートン力学と大きく変わらない。

基本事項のまとめ

運動エネルギー$K$、ポテンシャルエネルギー$U$をもつ系において、次のようなラグランジアン$L(q,\dot{q},t)$を導入する。
$$\begin{equation} L(q,\dot{q},t)=T-U \end{equation}$$
このとき、運動方程式は以下の形であらわすことができる。
$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} =\dfrac{\partial L}{\partial q} \end{equation}$$
これをオイラー・ラグランジュの運動方程式という。このとき、正準運動量$p_i$を次のように定義する。
$$\begin{equation} p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \end{equation}$$
ハミルトンはこれを用いて、運動方程式を$2$つの変数に対する時間微分が$1$階の連立常微分方程式に書き換えるということを考えた。次のようなハミルトニアン$H(q,\dot{q},t)$を導入する。
$$\begin{equation} H(p,q)=\sum_ip_i\dot{q}_i-L \end{equation}$$
簡単な系では、ハミルトニアンとエネルギーに次の関係がある。
$$\begin{equation} H=T+U \end{equation}$$
ハミルトニアンを用いると運動方程式は次のように書くことができる。
$$\begin{equation} \dot{p}=\dfrac{\partial H}{\partial q},~~~\dot{q}=\dfrac{\partial H}{\partial p} \end{equation}$$
これをハミルトンの正準運動方程式という。

剛体の運動を解析力学で考える場合も基本的には同様の処方箋で議論できる。このとき、運動エネルギーの部分に回転の運動エネルギーを考慮することを忘れないこと。