ベクトル解析演習8
今回は三重積分の計算演習をしましょう。
要点のまとめ
もし閉領域Dが{(x,y)|a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}と{(x,y)|c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}の2通りであらわせるとしたら、
∫ba{∫φ2(x)φ1(x)f(x,y)dy}dx=∫dc{∫ψ2(y)ψ1(y)f(x,y)dx}dy
です。これを積分順序の変更と言います。これは三重積分の場合（3変数の場合）でも同様に成り立ちます。
問題8
次の領域Dに関する重積分を計算しなさい。
(1)
∭V(x+y)dxdydz, V={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤1,−x≤z≤x}
(2)
∭Vdxdydz√z+1, V={(x,y,z)|0≤x≤2,0≤y≤x,0≤z≤x+1}
(3)
∭Vezdxdydz, V={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1−x,0≤z≤1−x−y}
解答8
(1)
∭V(x+y)dxdydz=∫10[∫20{∫x−x(x+y)dz}dx]dy=∫10{∫202x(x+y)dx}dy
=∫10(163+4y)dy=223
(2)
∭V1√z+1dxdydz=∫20{∫x0(∫x+101√z+1dz)dy}dx=∫202x(x+2)12dx−4=[43x(x+2)32]20−43∫20(x+2)32dx−4=415
(3)
∭Vezdxdydz=∫10[∫1−x0{exp(1−x−y)−1}dy]dx=∫10[−exp(1−x−y)−y]y=1−xy=0dx
=∫10{exp(1−x)+x−2}dx=[−exp(1−x)+12x2−2x]10=e−52
