$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$

ベクトル解析演習8

今回は三重積分の計算演習をしましょう。

要点のまとめ

もし閉領域$D$が$\{ (x,y) | a\leq x \leq b,~\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \}$と$\{ (x,y) | c\leq y \leq d,~\psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \}$の2通りであらわせるとしたら、
\[
\int_a^b \left\{ \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y) dy \right\} dx = \int_c^d \left\{ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx \right\} dy
\]
です。これを積分順序の変更と言います。これは三重積分の場合（3変数の場合）でも同様に成り立ちます。

問題8

次の領域$D$に関する重積分を計算しなさい。

(1)
\[
\iiint_V (x+y)dxdydz,~V=\{(x,y,z)|0\leq x\leq2, 0\leq y\leq 1,-x\leq z\leq x\}
\]

(2)
\[
\iiint_V \dfrac{dxdydz}{\sqrt{z+1}},~V=\{(x,y,z)|0\leq x\leq2, 0\leq y\leq x,0\leq z\leq x+1\}
\]

(3)
\[
\iiint_V e^zdxdydz,~V=\{(x,y,z)|0\leq x \leq1,0\leq y\leq 1-x,0\leq z\leq 1-x-y\}
\]

解答8

(1)
\[
\iiint_{V} (x+y) dxdydz=\int^{1}_{0}\left[\int^{2}_{0}\left\{\int^{x}_{-x}(x+y)dz\right\}dx\right]dy=\int^{1}_{0}\left\{\int^{2}_{0}2x(x+y)dx\right\}dy
\]
\[
=\int^{1}_{0}\left(\frac{16}{3}+4y\right)dy=\frac{22}{3}
\]

(2)
\[
\iiint_{V} \frac{1}{\sqrt{z+1}} dxdydz=\int^{2}_{0}\left\{\int^{x}_{0}\left(\int^{x+1}_{0}\frac{1}{\sqrt{z+1}}dz\right)dy\right\}dx=\int^{2}_{0}2x(x+2)^{\frac{1}{2}}dx-4=\left[\frac{4}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2}}\right]^{2}_{0}-\frac{4}{3}\int^{2}_{0}(x+2)^{\frac{3}{2}}dx-4=\frac{4}{15}
\]

(3)
\[
\iiint_{V} \mathrm{e}^z dxdydz=\int^{1}_{0}\left[\int^{1-x}_{0}\left\{\exp{(1-x-y)}-1\right\}dy\right]dx=\int^{1}_{0}\Bigl[-\exp{(1-x-y)}-y\Bigr]^{y=1-x}_{y=0}dx
\]
\[
=\int^{1}_{0}\{\exp{(1-x)}+x-2\}dx=\left[-\exp{(1-x)}+\frac{1}{2}x^2-2x\right]^{1}_{0}=\mathrm{e}-\frac{5}{2}
\]