【大学院入試対策】常微分方程式演習3

常微分方程式演習3

今回は同次形の常微分方程式の問題演習をしましょう。

次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1)
$2xyy’=y^2-x^2$

(2)
$2x+3y+(y-x)y’=0$

(1)
$\displaystyle u=\frac{y}{x}$ とおくと、両辺 $x^2$ で割れば、

$2xyy’=y^2 -x^2　\Leftrightarrow　2uy’=u^2 -1$

$y=xu であるため、uもxの関数であることに注意すればy’=u+xu’ であるので$

$2uy’=2u^2 +2uu’x=u^2 -1　\Leftrightarrow　\frac{1}{x}=\frac{-2uu’}{u^2 +1}$
両辺

$x$ で積分して

$\log{|x|}=-\log{(u^2 +1)}+\log{\mathrm{e}^C}　(C:任意定数)$
従って求める一般解は

$|x|=\frac{x^2\mathrm{e}^C}{y^2+x^2}$
を満たすような

$y$ である。

(2)
(1)と同様にして整理すれば、

$\int\frac{-(u-1)}{u^2+2u+2}du=\int\left(\frac{2}{u^2+2u+2}-\frac{u+1}{u^2+2u+2}\right)du=\int\frac{1}{x}dx$
従って求める一般解は

$\arctan{\left(\frac{y}{x}+1\right)}-\frac{1}{2}\log{\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{2y}{x}+2\right)}=\log{|x|}+C　(C:任意定数)$
を満たすような

$y$ である。