常微分方程式演習3

今回は同次形の常微分方程式の問題演習をしましょう。

問題3

次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1)
$2xyy’=y^2-x^2$

(2)
$2x+3y+(y-x)y’=0$

解答3

(1)
$\displaystyle u=\frac{y}{x}$とおくと、 両辺$x^2$で割れば、
\[
2xyy’=y^2 -x^2　\Leftrightarrow　2uy’=u^2 -1
\]
$y=xu であるため、uもxの関数であることに注意すればy’=u+xu’ であるので$
\[
2uy’=2u^2 +2uu’x=u^2 -1　\Leftrightarrow　\frac{1}{x}=\frac{-2uu’}{u^2 +1}
\]
両辺$x$で積分して
\[
\log{|x|}=-\log{(u^2 +1)}+\log{\mathrm{e}^C}　(C:任意定数)
\]
従って求める一般解は
\[
|x|=\frac{x^2\mathrm{e}^C}{y^2+x^2}
\]
を満たすような$y$である。

(2)
(1)と同様にして整理すれば、
\[
\int\frac{-(u-1)}{u^2+2u+2}du=\int\left(\frac{2}{u^2+2u+2}-\frac{u+1}{u^2+2u+2}\right)du=\int\frac{1}{x}dx
\]
従って求める一般解は
\[
\arctan{\left(\frac{y}{x}+1\right)}-\frac{1}{2}\log{\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{2y}{x}+2\right)}=\log{|x|}+C　(C:任意定数)
\]
を満たすような$y$である。