$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$
$\def\ap{\alpha’}$
弦理論入門06
点粒子から弦へ
第一励起状態、
\begin{equation}
a^{i\dag}_1\Ket{k,0} \mathrm{with} M^2=\dfrac{D-26}{24\ap}\label{eq:4.37}
\end{equation}
について考えることにしよう。この形をとる全ての状態は、横方向の空間の回転群$SO(D-2)$の下でベクトルとして変換する。このことは、弦の励起は質量をもたない必要があり、それ故にミンコフスキー時空におけるボソン弦理論は$D=26$次元でのみ辻褄が合うということを示唆している。この議論は次のように続けられる。$D=3$の場合、$\mathbb{R}^{3,1}$における質量のない表現の小群は$ISO(2)$であり、これは$2$次元ユークリッド時空における運動の群である。$ISO(2)$の部分群は$SO(2)$であり、これは$2$次元ユークリッド時空の回転に対応している。これとは反対に、質量のある表現の場合の小群は$SO(3)$となる。この結果は以前論じたやり方と同様にして、任意の$D$について一般化することが出来る。もし、小群が$SO(D-1)$ではなく$SO(D-2)$を含むのであれば、表現を構成する状態は質量を持たない状態となる必要がある。状態$a^{i\dag}_1\Ket{k,0}$は$SO(D-2)$の下でベクトルとして変換するので、これらの状態は質量を持たない必要があり、それ故に$D=26$次元にならなければならないと結論されるのである。
以前論じたように、古典論では任意の$D$次元におけるローレンツ変換の下で不変であるが、量子論においてはその限りではなく、ボソン弦理論においてローレンツ変換の下で不変なのは$D=26$に限られる。換言すれば、アノマリーが消えるのは$D=26$次元のみである。
ゲージ粒子によるモード$a^{i\dag}_1\Ket{k,0}$の決定も行いたくなる。これもあとで実例を見ることになる。
練習問題
光錐ゲージにおいて、$d$個のND 方向をもつ開弦の量子化を行え。ここでは少なくとも$2$つのNN 方向があると仮定している。弦の状態を構成し、それらの質量が
\begin{equation}
M^2=\dfrac{1}{\ap}\left(\sum_{i=1}^{D-2}\sum_{n=1}^\infty nN_{in}+a\right)+\left(\dfrac{\Delta x}{2\pi\ap}\right)^2\label{eq:4.38}
\end{equation}
で与えられることを示せ。但し、$a$は
\begin{equation}
a=-\dfrac{D-2}{24}+d\label{eq:4.39}
\end{equation}
である。最後の項は距離$\Delta x$で隔てられた$2$枚のD ブレーンの間を伸びる開弦の質量の寄与をあらわしている。
解答
ND 境界条件を満たすモード展開は、
\[
X^M(\tau,\sigma)=x^M_{\mathrm{f}}+i\sqrt{2\ap}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{\alpha^M_n}{n}\mathrm{e}^{-in\tau}\cos{(n\sigma)}
\]
で与えられる。
\[
\Pi^i= \dfrac { \delta \mathcal { L } } { \delta \left( \partial _ { \tau } X ^ { i } \right) } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \gamma _ { \sigma \sigma } \partial _ { \tau } X ^ { i } = \frac { p ^ { + } } { \pi } X ^ { i }
\]
を用いると、
\[
\Pi^M(\tau,\sigma)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{2\ap}}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\alpha^M_n\mathrm{e}^{-in\tau}\cos{(n\sigma)}
\]
となる。これらより、同時刻交換関係は以下のように書くことが出来る。
\begin{align}
i\delta(\sigma-\sigma’)=\left[X^M(\tau,\sigma),\Pi^M(\tau,\sigma)\right]\nonumber\\
=&\dfrac{i}{\pi}\sum_{n,n’\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{1}{n}\left[\alpha^M_n,\alpha^M_{n’}\right]\mathrm{e}^{-i(n+n’)\tau}\cos{(n\sigma)}\cos{(n’\sigma)}\nonumber
\end{align}
以下、$m= n+n’\in\mathbb{Z}$とする。左モードは$\tau$に依存しないので、右モードの$\mathrm{e}^{-im\tau}$は$m\neq0$で消えなければならず、
\[
\dfrac{1}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{1}{n}\left[\alpha^M_n,\alpha^M_{m-n}\right]\cos{(n\sigma)}\cos{((m-n)\sigma)}=\delta{(\sigma-\sigma’)}\delta_{m,0}
\]
となる。
