【弦理論入門06】ボソン弦の理論6

$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$
$\def\ap{\alpha’}$

弦理論入門06

点粒子から弦へ

第一励起状態、

$\begin{equation} a^{i\dag}_1\Ket{k,0}　\mathrm{with}　M^2=\dfrac{D-26}{24\ap} \end{equation}$

について考えることにしよう。この形をとる全ての状態は、横方向の空間の回転群 $SO(D-2)$ の下でベクトルとして変換する。このことは、弦の励起は質量をもたない必要があり、それ故にミンコフスキー時空におけるボソン弦理論は $D=26$ 次元でのみ辻褄が合うということを示唆している。この議論は次のように続けられる。 $D=3$ の場合、 $\mathbb{R}^{3,1}$ における質量のない表現の小群は $ISO(2)$ であり、これは $2$ 次元ユークリッド時空における運動の群である。 $ISO(2)$ の部分群は $SO(2)$ であり、これは $2$ 次元ユークリッド時空の回転に対応している。これとは反対に、質量のある表現の場合の小群は $SO(3)$ となる。この結果は以前論じたやり方と同様にして、任意の $D$ について一般化することが出来る。もし、小群が $SO(D-1)$ ではなく $SO(D-2)$ を含むのであれば、表現を構成する状態は質量を持たない状態となる必要がある。状態 $a^{i\dag}_1\Ket{k,0}$ は $SO(D-2)$ の下でベクトルとして変換するので、これらの状態は質量を持たない必要があり、それ故に $D=26$ 次元にならなければならないと結論されるのである。

以前論じたように、古典論では任意の $D$ 次元におけるローレンツ変換の下で不変であるが、量子論においてはその限りではなく、ボソン弦理論においてローレンツ変換の下で不変なのは $D=26$ に限られる。換言すれば、アノマリーが消えるのは $D=26$ 次元のみである。

ゲージ粒子によるモード $a^{i\dag}_1\Ket{k,0}$ の決定も行いたくなる。これもあとで実例を見ることになる。

練習問題

光錐ゲージにおいて、 $d$ 個のND 方向をもつ開弦の量子化を行え。ここでは少なくとも $2$ つのNN 方向があると仮定している。弦の状態を構成し、それらの質量が

$\begin{equation} M^2=\dfrac{1}{\ap}\left(\sum_{i=1}^{D-2}\sum_{n=1}^\infty nN_{in}+a\right)+\left(\dfrac{\Delta x}{2\pi\ap}\right)^2 \end{equation}$

で与えられることを示せ。但し、 $a$ は

$\begin{equation} a=-\dfrac{D-2}{24}+d \end{equation}$

である。最後の項は距離 $\Delta x$ で隔てられた $2$ 枚のD ブレーンの間を伸びる開弦の質量の寄与をあらわしている。

解答

ND 境界条件を満たすモード展開は、

$X^M(\tau,\sigma)=x^M_{\mathrm{f}}+i\sqrt{2\ap}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{\alpha^M_n}{n}\mathrm{e}^{-in\tau}\cos{(n\sigma)}$

で与えられる。

$\Pi^i= \dfrac { \delta \mathcal { L } } { \delta \left( \partial _ { \tau } X ^ { i } \right) } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \gamma _ { \sigma \sigma } \partial _ { \tau } X ^ { i } = \frac { p ^ { + } } { \pi } X ^ { i }$

を用いると、

$\Pi^M(\tau,\sigma)=\dfrac{1}{\pi\sqrt{2\ap}}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\alpha^M_n\mathrm{e}^{-in\tau}\cos{(n\sigma)}$

となる。これらより、同時刻交換関係は以下のように書くことが出来る。

$\begin{align} i\delta(\sigma-\sigma’)=\left[X^M(\tau,\sigma),\Pi^M(\tau,\sigma)\right]\nonumber\\ =&\dfrac{i}{\pi}\sum_{n,n’\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{1}{n}\left[\alpha^M_n,\alpha^M_{n’}\right]\mathrm{e}^{-i(n+n’)\tau}\cos{(n\sigma)}\cos{(n’\sigma)}\nonumber \end{align}$

以下、 $m= n+n’\in\mathbb{Z}$ とする。左モードは $\tau$ に依存しないので、右モードの $\mathrm{e}^{-im\tau}$ は $m\neq0$ で消えなければならず、

$\dfrac{1}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}\dfrac{1}{n}\left[\alpha^M_n,\alpha^M_{m-n}\right]\cos{(n\sigma)}\cos{((m-n)\sigma)}=\delta{(\sigma-\sigma’)}\delta_{m,0}$

となる。

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