$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

弦理論入門09

背景場におけるBoson 的弦理論：重力の発生1

今まで、Minkowski 時空における開弦と閉弦の伝播を考えてきた。基本的な弦を重力を含む零質量の閉弦の励起に結合することによって、曲がった背景時空を通って伝播する弦を記述することが出来る。特に、状態$\alpha_{-1}^{\{M}\tilde{\alpha}_{-1}^{N\}}\Ket{0,0,k}$の対称トレースレス部分は標的時空$g_{MN}$の計量を特定することが出来る。

曲がった標的時空におけるPolyakov 作用は以下のようになる。

\begin{equation}
\mathcal { S } = – \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma \sqrt { – h } h ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X ^ { N } g _ { M N } ( X )
\end{equation}

これに加えて、添字$M$、$N$について反対称なKalb-Ramond 場$B_{MN}$と零質量の閉弦の状態$\alpha_{-1}^{[M}\tilde{\alpha}_{-1}^{N]}\Ket{0,0,k}$と$\alpha^M_{-1}\tilde{\alpha}_{-1M}\Ket{0,0,k}$が残ることに関連したディラトン場$\phi$を考える。これらの作用は以下のようになる。

\begin{equation}
\mathcal { S } _ { B , \phi } = – \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int \mathrm { d } ^ { 2 } \sigma \sqrt { – h } \left( \varepsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X ^ { N } B _ { M N } ( X ) + \alpha ^ { \prime } R _ { h } \phi ( X ) \right)
\end{equation}

但し、$R_{(h)}$は世界面におけるRicci スカラーである。弦の摂動論のときと比較して、弦の結合定数を$g_s=\mathrm{e}^\phi$とおく。量子論でのWeyl 不変性を保証するために、世界面でのエネルギー・運動量テンソルにトレースレスであることを課す必要がある。世界面でのエネルギー・運動量テンソルのトレースは、

\begin{equation}
T _ { \alpha } ^ { \alpha } = – \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { \prime } } \beta _ { M N } ^ { g } h ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X ^ { N } – \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { \prime } } \beta _ { M N } ^ { B } \varepsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X ^ { N } – \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { \phi } R _ { ( h ) }
\end{equation}

となる。但し、ベータ関数は$\alpha’$の$1$次のオーダーまでを取ると、以下で与えられる。

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lcl}
\beta _ { M N } ^ { g }&=&- \alpha ^ { \prime } \left( R _ { M N } + 2 \nabla _ { M } \nabla _ { N } \phi – \dfrac { 1 } { 4 } H _ { M L R } H _ { N } ^ { L R } \right)\\
&&\\
\beta _ { M N } ^ { B }&=&\alpha ^ { \prime } \left( – \dfrac { 1 } { 2 } \nabla ^ { L } H _ { L M N } + \nabla ^ L \phi H _ { L M N } \right)\\
&&\\
\beta ^ { \phi }&=&\alpha ^ { \prime } \left( \dfrac { D – 26 } { 6 \alpha ^ { \prime } } – \dfrac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } \phi + \nabla _ { M } \phi \nabla ^ { M } \phi – \dfrac { 1 } { 24 } H _ { M N L } H ^ { M N L } \right)
\end{array}
\right.
\end{equation}

微分形式を用いると、Kalb-Ramond 場の場の強さ$H=\rmd B$を

\begin{equation}
H _ { M N L } \equiv \partial _ { M } B _ { N L } + \partial _ { N } B _ { L M } + \partial _ { L } B _ { M N }
\end{equation}

と成分表記することが出来る。

エネルギー・運動量テンソルがトレースレス、${T^\alpha}_\alpha=0$であれば、すなわち、$\beta_{MN}^g=\beta_{MN}^B=\beta^\phi=0$であるなら、弦理論の背景にはWeyl 不変性がある。但し、ベータ関数が消えるのは標的空間上に限られるということには注意しなければならない。例えば、ディラトン$\phi$が定数である場合とKalb-Ramond 場が消える場合は、標的時空の次元は$D=26$である必要があり、標的時空の計量$g_{MN}(x)$は真空でのEinstein 方程式を満たさなければならない。