$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

弦理論入門15

閉じた超弦

IIA 型の超重力理論

場を表現に対応付けることで、IIA 型の超重力理論の場が得られる。弦の系におけるIIA 型の超重力理論の作用のBoson 的な部分は

\begin{align}
\mathcal { S } _ { \mathrm { IIA } } = &\frac { 1 } { 2 \tilde{\kappa} _ { 10 } ^ { 2 } } \biggl[ \int \mathrm { d } ^ { 10 } x \sqrt { – g } \biggl( e ^ { – 2 \phi } \left( R + 4 \partial _ { M } \phi \partial ^ { M } \phi – \frac { 1 } { 2 } | H _ { ( 3 ) } | ^ { 2 } \right)\nonumber\\
-& \frac { 1 } { 2 } | F _ { ( 2 ) } | ^ { 2 } – \frac { 1 } { 2 } | \tilde { F } _ { ( 4 ) } | ^ { 2 } \biggr)- \frac { 1 } { 2 } \int B \wedge F _ { ( 4 ) } \wedge F _ { ( 4 ) } \biggr]
\end{align}

となる。但し、

\begin{equation}
\tilde { F } _ { ( 4 ) } = \mathrm { d } A _ { ( 3 ) } – A _ { ( 1 ) } \wedge F _ { ( 3 ) }
\end{equation}

この作用には$11$次元の超重力理論を次元簡約することで得られるという重要な事実がある。$11$次元の超重力理論は、$11$次元においてスピンが$2$以下の零質量の粒子のみを含んだ局所的な超対称性を理論である唯一の理論である。特に、$2$つのBoson 場、計量$G_{MN}$、$3$形式のポテンシャル$A_{(3)}=A_{MNR}\rmd x^M\wedge\rmd x^N\wedge\rmd x^R$を含んでいる。計量が$44$個、$3$形式のポテンシャルが$84$個の物理的状態を有しているから、合わせて$128$個の状態があることになる。$11$次元の超重力理論の作用のBoson 的な部分は以下で与えられる。

\begin{equation}
S _ { 11 } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 11 } ^ { 2 } } \left[ \int \mathrm { d } ^ { 11 } x \sqrt { – g } \left( R – \frac { 1 } { 2 } \left| F _ { ( 4 ) } \right| ^ { 2 } \right) – \frac { 1 } { 6 } \int A _ { ( 3 ) } \wedge F _ { ( 4 ) } \wedge F _ { ( 4 ) } \right]
\end{equation}

但し、$F_{(4)}=\rmd A_{(3)}$、$2\kappa_{11}^2=(2\pi)^8l_{\mathrm{p}}^9$であり、$l_{\mathrm{p}}$は$11$次元の理論におけるPlanck 長である。

$11$次元の超重力理論を半径$R_{11}={g_s}^{2/3}l_{\mathrm{p}}={g_s}l_{\mathrm{s}}$の円上におけるKaluza-Klein 簡約化によって$10$次元の理論に簡約し、IIA 型の超重力理論が得られるということを示すのは良い練習問題となるから挑戦してみると良い。特に、$11$次元の計量$g_{\bar{M}\bar{N}}$を以下のように分解することが出来る。

\begin{align}
d s^2=g_{\bar{M}\bar{N}}\rmd x^{\bar{M}}\rmd x^{\bar{N}}\nonumber\\
=&\exp{\left(-\dfrac{2}{3}\phi\right)}g^{(10)}_{MN}(x)\rmd x^M\rmd x^N+\exp{\left(\dfrac{4}{3}\phi\right)}\left(\rmd x^{10}+C_M\rmd x^M\right)^2
\end{align}

但し、$\bar{M},\bar{N}=0,\cdots,10$であり、$M,N=0,\cdots,9$である。$g^{(10)}$は$10$次元の理論における計量であり、$\phi$はディラトン場、$C_{(1)}=C_M\rmd x^M$はR-R $1$形式である。更に、$A_{MNP}=C_{MNP}$及び$A_{MN10}=B_{MN}$とすることで、$11$次元の超重力理論における$3$形式$A_{(3)}$をR-R $3$形式の場$C_{(3)}$とIIA 型超弦理論のKalb-Ramond 場に分解することが出来る。