【統計物理学】第04講　記法の準備②とIsing模型

$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$

トレースと部分トレース

$C\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$ についてトレースと部分トレースというものを定義しよう。まず、トレースを次のように定義する。

$\begin{equation} \mathrm{tr}C\coloneqq C^{aa,jj}\left(=\sum_{a=1}^{N_1}\sum_{j=1}^{N_2}C^{aa,jj}\right) \end{equation}$
次に、部分トレースを次のように定義する。

$\begin{equation} (\mathrm{tr}_1C)^{jk}\coloneqq C^{aa,jk}　,　(\mathrm{tr}_2C)^{ab}\coloneqq C^{ab,jj} \end{equation}$
但し、このとき、

$\mathrm{tr}_1C\in\mathrm{End}(V_2)$ 、

$\mathrm{tr}_2C\in\mathrm{End}(V_1)$ である。

問題04

$N_1=N_2=2$ とするとき、 $\mathrm{tr}_1P=\mathbbm{1}_2$ 、 $\mathrm{tr}_2P=\mathbbm{1}_2$ を示せ。

解答04

先に求めた $P$ を利用すれば、

$\left\{ \begin{array}{l} (\mathrm{tr}_1P)^{11}=P^{11,11}+P^{22,11}=1+0=1\\ \\ (\mathrm{tr}_1P)^{12}=P^{11,12}+P^{22,12}=0+0=0\\ \\ (\mathrm{tr}_1P)^{21}=P^{11,21}+P^{22,21}=0+0=0\\ \\ (\mathrm{tr}_1P)^{22}=P^{11,22}+P^{22,22}=0+1=1\\ \\ (\mathrm{tr}_2P)^{11}=P^{11,11}+P^{11,22}=1+0=1\\ \\ (\mathrm{tr}_2P)^{12}=P^{12,11}+P^{12,22}=0+0=0\\ \\ (\mathrm{tr}_2P)^{21}=P^{21,11}+P^{21,22}=0+0=0\\ \\ (\mathrm{tr}_2P)^{22}=P^{22,11}+P^{22,22}=0+1=1\\ \end{array} \right.$
と求まる。よって題意は示された。

複数個のベクトル空間のテンソル積

ここでは表題の通り、複数個のベクトル空間のテンソル積 $V_1\otimes V_2\otimes\cdots\otimes V_N$ を考えたい。以下では簡単のため、 $V_k$ を2次元複素ベクトル空間とする。これによって、 $2^N$ 次元のベクトル空間を構成することが出来る。

次に成分表示を考えよう。 $z\in V_1\otimes V_2\otimes\cdots\otimes V_N$ は $2^N$ 次元ベクトルであり、この成分を次のようにあらわすことにする。

$\begin{equation} z^{a_1,a_2,\cdots,a_N}~(a_j=1,2~\mathrm{and}~j=1,\cdots,N) \end{equation}$

また、 $A\in\mathrm{End}(V_1\otimes\cdots\otimes V_N)$ という $2^N\times2^N$ 行列の成分を

$\begin{equation} A^{a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_Nb_N}~(a_\alpha,b_\beta=1,2~\mathrm{and}~\alpha,\beta=1,\cdots,N) \end{equation}$
と表すことにする。

このとき、 $A,B\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2\otimes\cdots\otimes V_N)$ のとき、 $C=AB$ の成分は $C^{a_1b_1,\cdots,a_Nb_N}=A^{a_1c_1,\cdots,a_Nc_N}B^{c_1b_1,\cdots,c_Nb_N}$ とあらわされることに注意せよ。

また、 $A_{kn}\in V_1\otimes\cdots\otimes V_N$ について

$\begin{equation} (A_{kn})^{a_1b_1,\cdots,a_Nb_N}=A^{a_kb_k,a_nb_n}\prod_{j=1~(j,k\neq n)}^N\delta^{a_jb_j} \end{equation}$
となる。すなわち、

$V_k$ と

$V_n$ のみに非自明に作用するということになる。

問題05

(1) $P_{kn}\in\mathrm{End}(V_1\otimes\cdots\otimes V_N)$ を $x_1\otimes\cdots\otimes x_N$ に対して、

$\begin{equation} P_{kn}(x_1\otimes\cdots\otimes x_k\otimes\cdots\otimes x_n\otimes\cdots\otimes x_N)\coloneqq x_1\otimes\cdots\otimes x_n\otimes\cdots\otimes x_k\otimes\cdots\otimes x_N \end{equation}$
で定義する。このとき、

$(P_{kn})^{a_1b_1,\cdots,a_Nb_N}$ を求めよ。

(2) $W_{12\cdots N}\in\mathrm{End}(V_1\otimes\cdots\otimes V_N)$ に対して、

$\begin{equation} P_{kn}W_{12\cdots N}P_{kn}=W_{1,\cdots,n\cdots,k,\cdots,N} \end{equation}$
を示せ。但し、

$W_{1\cdots n\cdots k\cdots N}$ は

$\begin{equation} (W_{1\cdots n\cdots k\cdots N})^{a_1b_1,\cdots,a_Nb_N}\coloneqq(W_{1\cdots N})^{a_1b_1,\cdots,a_nb_n,\cdots,a_kb_k,\cdots,a_Nb_N} \end{equation}$
で定義される。

解答05

(1)法則を掴むために具体的に計算してみると、例えば、 $N=3$ の場合は、

$P_{23}=\left( \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1 \end{array} \right)　,　 P_{13}=\left( \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1 \end{array} \right)$
となる。これらをヒントに一般化すると以下のようになる。

$P=\left\{ \begin{array}{cl} 1&(a_k=b_n\cap a_n=b_k\cap a_\alpha=b_\alpha(\alpha\neq k,n))\\ &\\ 0&(\mathrm{otherwise}) \end{array} \right.$

(2)これまでの問題から、 $P_{kn}$ は左から作用すると $a_k$ と $a_n$ を入れ替え、右から作用すると $b_k$ と $b_n$ を入れ換える役割があるということが分かる。よって、題意は明らかに成り立つ。

$1$ 次元Ising 模型と転送行列

Ising 模型の下でのHamiltonian は

$\begin{equation} H=-\sum_{x=1}^L\sigma_x\sigma_{x+1}-h\sum_{x=1}^L\sigma_x \end{equation}$
となる。但し、

$\sigma_x\in\{-1,+1\}$ は格子点

$x$ におけるスピンをあらわしており、

$-1$ ならスピン下向き、

$+1$ ならスピン上向きを示している。また、

$h\in\mathbb{R}$ は磁場を、

$L$ は格子点の数をあらわしている。また、今、周期的境界条件

$\sigma_1=\sigma_{L+1}$ が課せられている。

このとき、分配関数は

$\begin{equation} Z=\sum_{\sigma_1=\pm1}\cdots\sum_{\sigma_L=\pm1}\mathrm{e}^{-\beta H} \end{equation}$
と書くことが出来る。但し、

$\beta$ は逆温度で、

$\beta\coloneqq1/(k_BT)$ と定義される

問題06

$1$ 次元Ising 模型について以下の問いに答えよ。

(1)分配関数 $Z$ を転送行列を用いて求めよ。

(2)磁化、磁化率、及びその $L\rightarrow\infty$ の極限を求めよ。

解答06

(1)与えられた周期的境界条件を利用して、以下のように分配関数を書き直すことが出来る。

$H=\sum_{i=1}^LH_{ii+1}$
但し、

$H_{ii+1}$ は以下のように定義している。

$H_{ii+1}=-\sigma_i\sigma_{i+1}-h\dfrac{\sigma_i+\sigma_{i+1}}{2}$
従って、

$L$ 個のサイトの状態

$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_L$ を固定した時の系の全体のBoltzmann 重みは以下のように書くことが出来る。

$Z=\mathrm{e}^{-\beta H_{12}(\sigma_1,\sigma_2)}\mathrm{e}^{-\beta H_{23}(\sigma_2,\sigma_3)}\cdots\mathrm{e}^{-\beta H_{L1}(\sigma_L,\sigma_2)}$
今、隣接間のスピン相互作用の大きさを

$1$ に規格化しているから、

$T=\left( \begin{array}{cc} \mathrm{e}^{-\beta H_{ii+1}(1,1)}&\mathrm{e}^{-\beta H_{ii+1}(1,-1)}\\ \mathrm{e}^{-\beta H_{ii+1}(-1,1)}&\mathrm{e}^{-\beta H_{ii+1}(-1,-1)} \end{array} \right)$
と転送行列を定義すると、周期的境界条件を利用して、

$Z=\mathrm{Tr}T^L$
と書くことが出来る。このとき、

$T$ は実対称行列なので対角化可能であり、その固有値は実である。

$T$ を対角化すると、以下のように書くことが出来る。

$T=U\Lambda U^{-1}　,　U=\left( \begin{array}{cc} u_{11}&u_{12}\\ u_{21}&u_{22} \end{array} \right)　,　\Lambda=\left( \begin{array}{cc} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2 \end{array} \right)$
ここで、

$\left( \begin{array}{c} u_{11}\\ u_{21} \end{array} \right)$ と

$\left( \begin{array}{c} u_{12}\\ u_{22} \end{array} \right)$ はそれぞれ固有値

$\lambda_1$ と

$\lambda_2$ に対応する、規格化された固有ベクトルである。このとき、

$T$ の固有方程式は

$0=\lambda^2-\mathrm{e}^\beta(\mathrm{e}^{\beta h}+\mathrm{e}^{-\beta h})\lambda+(\mathrm{e}^{2\beta}-\mathrm{e}^{-2\beta})$
これより、固有値

$\lambda_1$ 、

$\lambda_2$ を

$\lambda_1>\lambda_2$ となるように取ると、

$\left\{ \begin{array}{l} \lambda_1=\mathrm{e}^\beta\left\{\cosh{(\beta h)}+\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}\right\}\\ \lambda_2=\mathrm{e}^\beta\left\{\cosh{(\beta h)}-\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}\right\} \end{array} \right.$
これによってトレースが計算できるから、求める分配関数は結局以下のように求まる。

$Z=\mathrm{Tr}T^L=\mathrm{Tr}\Lambda^L=\lambda_1^L+\lambda_2^L$

(2)Helmholtz の自由エネルギー $f$ は

$f=-\dfrac{1}{\beta L}\ln{Z}=-\dfrac{1}{\beta}\ln{\lambda_1}-\dfrac{1}{\beta L}\ln{\left\{1+\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L\right\}}$
と求まる。

$L\rightarrow\infty$ の極限では

$\tilde{f}=-\dfrac{1}{\beta}\ln{\lambda_1}$
となることが直ちに分かる。次に、磁化は以下のように求まる。

$\begin{align} m=&-\dfrac{\partial f}{\partial h}=\dfrac{1}{\beta}\dfrac{\dfrac{\partial\lambda_1}{\partial h}}{\lambda_1}+\dfrac{1}{\beta L}\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial h}\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L}{1+\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L}\nonumber\\ =&\dfrac{\sinh{(\beta h)}}{\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}}+\dfrac{\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{L-1}}{1+\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L}\dfrac{2\sinh{(\beta h)}(\mathrm{e}^{-4\beta}-1)}{\left(\cosh{(\beta h)}+\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}\right)^2\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}}\nonumber \end{align}$
と求まる。

$L\rightarrow\infty$ の極限では

$\tilde{m}=\dfrac{\sinh{(\beta h)}}{\sqrt{\sinh^2{(\beta h)}+\mathrm{e}^{-4\beta}}}$
となることが直ちに分かる。結局、磁化率は以下のように求まる。

$m$ の第

$2$ 項は、

$h=0$ を代入すると

$\sinh(\beta h)$ の項が消えることを利用すれば簡単に計算出来る。

$\chi=\dfrac{\partial m}{\partial h}\biggr|_{h=0}=\beta\mathrm{e}^{2\beta}\left\{1-\dfrac{\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{L-1}}{1+\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^L}\dfrac{\sinh{(2\beta)}}{\cosh^2{(\beta)}}\right\}$
と求まる。

$L\rightarrow\infty$ の極限では

$\tilde{\chi}=\beta\mathrm{e}^{2\beta}$
となることが直ちに分かる。

【統計物理学】第04講　記法の準備②とIsing模型

トレースと部分トレース

問題04

解答04

複数個のベクトル空間のテンソル積

問題05

解答05

$1$ 次元Ising 模型と転送行列

問題06

解答06

関連記事

新着記事

第46講：代数的加法公式と関数4

第45講：代数的加法公式と関数3

第44講：代数的加法公式と関数2

第43講：代数的加法公式と関数1

第42講：sn関数の一価性

カテゴリータグ

トレースと部分トレース

問題04

解答04

複数個のベクトル空間のテンソル積

問題05

解答05

11次元Ising 模型と転送行列

問題06

解答06

関連記事

SNSでもご購読できます。

人気記事

新着記事

第46講：代数的加法公式と関数4

第45講：代数的加法公式と関数3

第44講：代数的加法公式と関数2

第43講：代数的加法公式と関数1

第42講：sn関数の一価性

カテゴリータグ

$1$ 次元Ising 模型と転送行列