$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}}$

Yang-Baxter 方程式2

図45　$6$頂点模型の略記図

図10を再掲すると、以下のようになっている。

図10　$6$頂点模型の略記図

故に、点線を$1$、実線を$2$とすると、

$$\begin{equation} R=(r_{ij}^{\alpha\beta,jk})=\left( \begin{array}{cccc} a&0&0&0\\ 0&b&c&0\\ 0&c&b&0\\ 0&0&0&a \end{array} \right) \end{equation}$$

であったから、例えば$r^{11,22}=b$などとなる。さて、図を考えてみると以下のようになる。但し、黒丸が$X$、矢印が$W$に対応している。

図46　$6$頂点模型の略記図

図47　$6$頂点模型の略記図

$$\begin{equation} X(a_2,a_1;c_2,c_1)W_{u_1}(m,c_1;k,b_1)W_{u_2}(k,c_2;n,b_2)=W_{u_2}(m,a_2;k,c_2)W_{u_1}(k,a_1;n,c_1)X(c_2,c_1;b_2,b_1)\label{eq:5.1} \end{equation}$$

但し、$a_i,b_i\in(0,1)$、$m,n,k\in\{0,1,2,\cdots\}$であり、$c_1,c_2,k$については和を取るものとする。また、$W_u(m,a;n,b)$は図48左図のような状況をあらわしている。太い縦矢印の部分は複数本の矢印が存在することを示している。これが特に$1$本であるならYang-Baxter 方程式に他ならないので、hsvm の式はYang-Baxter 方程式の拡張とみなすことが出来るであろう。

次にオペレーター表示について説明する。これは図48右図のような状況をあらわしたものであり、モノドロミー行列$T(u)\in\mathrm{End}(W\otimes V_0)$を用いた表示法である。但し、$W$は$2$次のベクトル空間$\mathbb{C}\cdots\oplus\mathbb{C}-$であり、$V_0$は$\mathbb{C}\underbrace{\vdots}_{0本}\mathbb{C}\underbrace{\uparrow}_{1本}\oplus\cdots\oplus\mathbb{C}\uparrow$である。

図48　$6$頂点模型の略記図

このとき、オペレーター表示では、

$$\begin{equation} T(u)=\left( \begin{array}{rr} A_1(u)&C_1(u)\\ B_1(u)&D_1(u) \end{array} \right) \end{equation}$$

とする。但し、$A_1(u)\sim D_1(u)\in\mathrm{End}(V_0)$である。

さて、$V_0$の$\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}_{g本}$に対応する基底を$e_g$と書くことにすると、

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} A_1(u):A_1(u)e_g&=&W_u(g,0:g,0)e_g\\ &&\\ B_1(u):B_1(u)e_g&=&W_u(g,1:g+1,0)e_g\\ &&\\ C_1(u):C_1(u)e_g&=&W_u(g,0:g-1,1)e_g\\ &&\\ D_1(u):D_1(u)e_g&=&W_u(g,1:g,1)e_g\\ \end{array} \right. \end{equation}$$

と書くことが出来る。これは図49の絵を基にしている。

図49　$6$頂点模型の略記図

これは先の$6$頂点模型の$A(u)$から$D(u)$の定義と$B(u)$と$C(u)$の位置が逆になっていることに注意しなければならない。これはどちらに$(1,0)^{\mathrm{T}}$と$(0,1)^{\mathrm{T}}$を割り当てるかという違いでしかないので、本質的なものではない。以下、この定義に従って議論する。$6$頂点模型のときの(8)、(9)と同様に、高次元スピン頂点模型について以下が成立することが分かる。

$$\begin{equation} \check{X}(T(u_1)\otimes T(u_2))=(T(u_2)\otimes T(u_1))\check{X}\label{eq:5.2} \end{equation}$$

但し、$\check{X}=PX$である。また、$T(u_1)\otimes T(u_2)$は以下のようになっている。

$$\begin{equation} T(u_1)\otimes T(u_2)=\left( \begin{array}{rrrr} A_1(u_1)A_1(u_2)&A_1(u_1)C_1(u_2)&C_1(u_1)A_1(u_2)&C_1(u_1)C_1(u_2)\\ A_1(u_1)B_1(u_2)&A_1(u_1)D_1(u_2)&C_1(u_1)B_1(u_2)&C_1(u_1)D_1(u_2)\\ B_1(u_1)A_1(u_2)&B_1(u_1)C_1(u_2)&D_1(u_1)A_1(u_2)&D_1(u_1)C_1(u_2)\\ B_1(u_1)B_1(u_2)&B_1(u_1)D_1(u_2)&D_1(u_1)B_1(u_2)&D_1(u_1)D_1(u_2) \end{array} \right) \end{equation}$$

これも前述の通り、$6$頂点模型の$A(u)$から$D(u)$の定義と$B(u)$と$C(u)$の位置が逆になっていることに注意しなければならない。また、$AB\neq BA$などにも注意を要する。

$T(u)$の一般化として、$1\times L+1$高次元スピン頂点模型に対応するモノドロミー行列を$T_L(u)$とする。すなわち、

$$\begin{equation} T_L(u)=\left( \begin{array}{cc} A_L(u)&C_L(u)\\ B_L(u)&D_L(u) \end{array} \right)\in\mathrm{End}(W\otimes V_0\otimes\cdots\otimes V_L) \end{equation}$$

である。これは下図のように図示できる。

図50　$1\times L+1$高次元スピン頂点模型の略記図

この$T_L(u)$についても(12)と同じ式が成立して、

$$\begin{equation} \check{X}(T_L(u_1)\otimes T_L(u_2))=(T_L(u_2)\otimes T_L(u_1))\check{X}\label{eq:5.3} \end{equation}$$

である。

問題20

$6$頂点模型の(8)、(9)の導出を復習して、(13)が成立することを確かめよ。

解答20

一般化されたYang-Baxter 方程式より、今、

$$X_{12}T_{L13}(u_1)T_{L23}(u_2)=T_{L23}(u_2)T_{L13}(u_1)X_{12}$$

が成り立っている。これに左から$P_{12}$を掛けると、

$$\begin{align} &P_{12}X_{12}T_{L13}(u_1)T_{L23}(u_2)=P_{12}T_{L23}(u_2)T_{L13}(u_1)X_{12}\nonumber\\ =&P_{12}T_{L23}(u_2)P_{12}P_{12}T_{L13}(u_1)P_{12}P_{12}X_{12}=T_{L13}(u_1)T_{L23}(u_2)P_{12}X_{12}\nonumber\\ \Longleftrightarrow&\check{X}_{12}T_{L13}(u_1)T_{L23}(u_2)=T_{L13}(u_1)T_{L23}(u_2)\check{X}_{12}\nonumber \end{align}$$

となる。これにより、

$$\check{X}(T_L(u_1)\otimes T_L(u_2))=(T_L(u_2)\otimes T_L(u_1))\check{X}$$

と書くことが出来る。よって題意は示された。

図51　$6$頂点模型の略記図

$=$

図52　$6$頂点模型の略記図

$6$頂点模型の(9)と同様、(13)から$A_L(u)$から$D_L(u)$についての関係式が以下のように得られる。

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} A_L(u_1)A_L(u_2)&=&A_L(u_2)A_L(u_1)\\ B_L(u_1)B_L(u_2)&=&B_L(u_2)B_L(u_1)\\ D_L(u_1)D_L(u_2)&=&D_L(u_2)D_L(u_1)\\ B_L(u_1)D_L(u_2)&=&\dfrac{u_1-u_2}{qu_1-u_2}D_L(u_2)B_L(u_1)+\dfrac{(1-q)u_2}{u_2-qu_1}B_L(u_2)D_L(u_1) \end{array} \right.\label{eq:5.4} \end{equation}$$

以上が高次元スピン頂点模型における可積分性からの帰結である。

問題21

(4)を確かめよ。

解答21

$$\check{X}=\left( \begin{array}{cccc} u_1-qu_2&0&0&0\\ 0&(1-q)u_2&u_1-u_2&0\\ 0&q(u_1-u_2)&(1-q)u_1&0\\ 0&0&0&u_1-qu_2 \end{array} \right)$$

であるから、与式に代入して両辺の各成分をあらわに書くと、

$$\begin{align} &\check{X}(T_L(u_1)\otimes T_L(u_2))=\left( \begin{array}{cccc} u_1-qu_2&0&0&0\\ 0&(1-q)u_2&u_1-u_2&0\\ 0&q(u_1-u_2)&(1-q)u_1&0\\ 0&0&0&u_1-qu_2 \end{array} \right)\nonumber\\ &　　　　　　　　　　\left( \begin{array}{rrrr} A_L(u_1)A_L(u_2)&A_L(u_1)C_L(u_2)&C_L(u_1)A_L(u_2)&C_L(u_1)C_L(u_2)\\ A_L(u_1)B_L(u_2)&A_L(u_1)D_L(u_2)&C_L(u_1)B_L(u_2)&C_L(u_1)D_L(u_2)\\ B_L(u_1)A_L(u_2)&B_L(u_1)C_L(u_2)&D_L(u_1)A_L(u_2)&D_L(u_1)C_L(u_2)\\ B_L(u_1)B_L(u_2)&B_L(u_1)D_L(u_2)&D_L(u_1)B_L(u_2)&D_L(u_1)D_L(u_2) \end{array} \right)\nonumber\\ =&\small\left( \begin{array}{cc} A_L(u_1)A_L(u_2) (u_1-q u_2) & A_L(u_1)C_L(u_2) (u_1-q u_2)\\ B_L(u_1)A_L(u_2) (u_1-u_2)+A_L(u_1)B_L(u_2) (1-q) u_2 & B_L(u_1)C_L(u_2) (u_1-u_2)+A_L(u_1)D_L(u_2) (1-q) u_2\\ B_L(u_1)A_L(u_2) (1-q) u_1+A_L(u_1)B_L(u_2) q (u_1-u_2) & B_L(u_1)C_L(u_2) (1-q) u_1+A_L(u_1)D_L(u_2) q (u_1-u_2)\\ B_L(u_1)B_L(u_2) (u_1-q u_2) & B_L(u_1)D_L(u_2) (u_1-q u_2) \end{array} \right.\nonumber\\ &\small\left. \begin{array}{cc} C_L(u_1)A_L(u_2) (u_1-q u_2) & C_L(u_1)C_L(u_2) (u_1-q u_2) \\ D_L(u_1)A_L(u_2) (u_1-u_2)+C_L(u_1)B_L(u_2) (1-q) u_2 & D_L(u_1)C_L(u_2) (u_1-u_2)+C_L(u_1)D_L(u_2) (1-q) u_2 \\ D_L(u_1)A_L(u_2) (1-q) u_1+C_L(u_1)B_L(u_2) q (u_1-u_2) & D_L(u_1)C_L(u_2) (1-q) u_1+C_L(u_1)D_L(u_2) q (u_1-u_2) \\ D_L(u_1)B_L(u_2) (u_1-q u_2) & D_L(u_1)D_L(u_2) (u_1-q u_2) \end{array} \right)\nonumber \end{align}$$

$$\begin{align} &(T_L(u_2)\otimes T_L(u_1))\check{X}=\left( \begin{array}{rrrr} A_L(u_2)A_L(u_1)&A_L(u_2)C_L(u_1)&C_L(u_2)A_L(u_1)&C_L(u_2)C_L(u_1)\\ A_L(u_2)B_L(u_1)&A_L(u_2)D_L(u_1)&C_L(u_2)B_L(u_1)&C_L(u_2)D_L(u_1)\\ B_L(u_2)A_L(u_1)&B_L(u_2)C_L(u_1)&D_L(u_2)A_L(u_1)&D_L(u_2)C_L(u_1)\\ B_L(u_2)B_L(u_1)&B_L(u_2)D_L(u_1)&D_L(u_2)B_L(u_1)&D_L(u_2)D_L(u_1) \end{array} \right)\nonumber\\ &　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\left( \begin{array}{cccc} u_1-qu_2&0&0&0\\ 0&(1-q)u_2&u_1-u_2&0\\ 0&q(u_1-u_2)&(1-q)u_1&0\\ 0&0&0&u_1-qu_2 \end{array} \right)\nonumber\\ =&\left( \begin{array}{cc} A_L(u_2)A_L(u_1) (u_1-q u_2) & C_L(u_2)A_L(u_1) q (u_1-u_2)+A_L(u_2)C_L(u_1) (1-q) u_2 \\ A_L(u_2)B_L(u_1) (u_1-q u_2) & C_L(u_2)B_L(u_1) q (u_1-u_2)+A_L(u_2)D_L(u_1) (1-q) u_2 \\ B_L(u_2)A_L(u_1) (u_1-q u_2) & D_L(u_2)A_L(u_1) q (u_1-u_2)+B_L(u_2)C_L(u_1) (1-q) u_2 \\ B_L(u_2)B_L(u_1) (u_1-q u_2) & D_L(u_2)B_L(u_1) q (u_1-u_2)+B_L(u_2)D_L(u_1) (1-q) u_2 \end{array} \right.\nonumber\\ &　　　　\left. \begin{array}{cc} C_L(u_2)A_L(u_1) (1-q) u_1+A_L(u_2)C_L(u_1) (u_1-u_2) & C_L(u_2)C_L(u_1) (u_1-q u_2) \\ C_L(u_2)B_L(u_1) (1-q) u_1+A_L(u_2)D_L(u_1) (u_1-u_2) & C_L(u_2)D_L(u_1) (u_1-q u_2) \\ D_L(u_2)A_L(u_1) (1-q) u_1+B_L(u_2)C_L(u_1) (u_1-u_2) & D_L(u_2)C_L(u_1) (u_1-q u_2) \\ D_L(u_2)B_L(u_1) (1-q) u_1+B_L(u_2)D_L(u_1) (u_1-u_2) & D_L(u_2)D_L(u_1) (u_1-q u_2) \end{array} \right)\nonumber \end{align}$$

となる。$(1,1)$成分、$(1,4)$成分、$(4,4)$成分、$(2,4)$成分などを比較することで所望の式を得ることが出来る。よって題意は示された。