量子力学03
調和振動子
1次元の場合
1次元の調和振動子のハミルトニアンは以下であらわされる。
ˆH=ˆp22m+12mω2ˆx2
位置空間での波動関数はエルミート多項式と関係がある。さて、生成・消滅演算子a†,aを導入して上手く変数を取り直すことで、次のように書き直せる（生成・消滅演算子の表式を覚えておく必要はない。）。
H=ℏω(a†a+12)
このとき、昇降演算子（生成・消滅演算子）には[a†,a]=1が成り立っている。a∗=a†≠aなので生成演算子a†と消滅演算子aはいずれもエルミート演算子ではない。また、粒子を生成・消滅させるという定義から[a†,H]≠0と[a,H]≠0も成り立つ。
H|n⟩=ℏω(n+12)|n⟩, n=0,1,2,3…
基底状態のエネルギーはn=0の場合で、E0=12ℏωである。
調和振動子に関する典型問題はa†,aで書かれたオブザーバブルの期待値を計算することである。この手の問題が出されたときにはディラックのブラケット記法や規格直交性も正しく利用できるかということも問われている。例として、状態|3⟩における(a+a†)2の期待値を計算してみよう。すなわち、
⟨3|(a+a†)2|3⟩=⟨3|a2+aa†+a†a+(a†)2|3⟩
を計算したい。粒子を2回とも生成させるような、あるいは2回とも消滅させるような項はブラ⟨3|との規格直交性からゼロになるため、計算したいのは第2,3項のみである。規格化の関係から、
{aa†|3⟩=√4(a|4⟩)=√4√4|3⟩=4|3⟩ a†a|3⟩=√3(a†|2⟩)=√3√3|3⟩=3|3⟩
となる。よって求める期待値は7。
また、x<0の領域が無限に高いポテンシャルに阻まれていて、x>0の領域が調和振動子ポテンシャルになっている場合のエネルギー準位が問われるという問題も頻出である。この場合、波動関数は奇関数になるから、波動関数に用いられるエルミート多項式はnが奇数の項しか許されないことになる。従って、エネルギー準位の式でもnは奇数しか許されなくなる。
更に、調和振動子の全てのエネルギー固有状態は以下であらわされるビリアル定理に従う。
|T⟩=|V⟩=En2
この関係式は例えば⟨p2⟩を問われた際に、Enをいつもの方法で計算して⟨T⟩を求めるという手順で利用したりする。一般に、この定理はエネルギー固有状態の重ね合わせに適用することはできないことに注意せよ。
3次元の場合
3次元調和振動子の場合、波動関数はψN(x,y,z)=ψn1(x)ψn2(y)ψn3(z)と分離できるので、エネルギー固有値は
EN=(N+32)ℏω, N=n1+n2+n3
となる。従って、N=1と言われたら3重に縮退しているし、N=2と言われたら6重に縮退している。これは状態数が少ない問題なのでボルツマンのエントロピーの公式S=kBlnWを利用するための問題として狙われやすい。例えば、ボルツマンの公式S=kBlnWより、N=1の状態からN=2の状態へ遷移するとエントロピーの変化はΔS=kBlog6−kBlog3=kBlog6/3=kBlog2となる。
なお、2次元調和振動子の場合は3/2の因子が1になることに注意。
