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シュレーディンガーの演算子

シュレーディンガー方程式では演算子による表現が重要です。ここでは、量子力学に登場する代表的な演算子をまとめておくことにします。

古典物理学と量子力学の基本的な違い

古典物理学では、位置や運動量は特定の値を持つ確定的な物理量として扱われます。一方、量子力学では、位置や運動量は波動関数（状態ベクトル）を作用する演算子として定義され、物理量の測定結果は確率的に記述されます。

古典物理学における状態は、位置 $x$ と運動量 $p$ の確定的な値のペアとして与えられますが、量子力学では、波動関数 $\psi(x)$ によって記述されます。この波動関数に基づいて、物理量を対応する演算子を用いて計算します。

位置演算子

古典物理学における位置

古典物理学では、位置 $x$ は粒子の空間内での座標を表す確定的な値です。位置は明確に測定可能であり、時間に応じて変化する変数として扱われます。

量子力学における位置演算子

量子力学では、位置 $x$ は演算子として定義されます。1次元の場合、位置演算子 $\hat{x}$ は次のように定義されます。

\begin{equation}
\hat{x}\psi(x) = x\psi(x)
\end{equation}

ここで、$\psi(x)$ は波動関数であり、位置 $x$ に依存する関数です。位置演算子は、波動関数をその場の座標 $x$ で重み付けする形で作用します。

運動量演算子

古典物理学における運動量

運動量 $p$ は質量 $m$ と速度 $v$ の積 $p = mv$ で表され、運動の量を記述する物理量です。位置と同様に確定的な値として扱われます。

量子力学における運動量演算子

量子力学では、運動量も演算子として定義されます。1次元の場合、運動量演算子 $\hat{p}$ は以下のように定義されます。

\begin{equation}
\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}
\end{equation}

ここで、$\hbar$ はプランク定数 $h$ を $2\pi$ で割ったもの、$i$ は虚数単位です。この演算子は波動関数に微分作用を施し、運動量に関する情報を引き出します。

運動量演算子が波動関数に作用する場合、

\begin{equation}
\hat{p}\psi(x) = -i\hbar\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}
\end{equation}

この結果は波動関数の空間的な変化率に基づいています。したがって、運動量の測定値は波動関数の空間的な構造に依存します。

角運動量演算子

古典物理学における角運動量

角運動量 $\mathbf{L}$ は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ と運動量ベクトル $\mathbf{p}$ のベクトル積で表されます。

\begin{equation}
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}
\end{equation}

この量は系の回転運動を記述し、保存則に関連する重要な物理量です。

量子力学における角運動量演算子

量子力学では、角運動量は演算子として定義されます。3次元空間における角運動量演算子の成分は次のように表されます。

\begin{equation}
\hat{L}_x = -i\hbar\left( y\frac{\partial}{\partial z} – z\frac{\partial}{\partial y} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\hat{L}_y = -i\hbar\left( z\frac{\partial}{\partial x} – x\frac{\partial}{\partial z} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\hat{L}_z = -i\hbar\left( x\frac{\partial}{\partial y} – y\frac{\partial}{\partial x} \right)
\end{equation}

これらの演算子は波動関数に作用し、角運動量の各成分を計算します。

角運動量の交換関係は次のように与えられ、古典力学とは異なる量子力学の特徴を示します。

\begin{equation}
[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z, \quad [\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x, \quad [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y
\end{equation}

これらの交換関係は、不確定性原理に基づく測定の制限を反映しています。

演算子と観測量の関係

量子力学では、物理量は対応する演算子の固有値として得られます。例えば、位置演算子 $\hat{x}$ の作用に対する固有値問題は次のように表されます。

\begin{equation}
\hat{x}\psi(x) = x\psi(x)
\end{equation}

ここで、固有値 $x$ は位置の測定値を表します。同様に、運動量演算子 $\hat{p}$ に関しても固有値問題を考えることができ、測定される運動量はその固有値となります。

今回のまとめ

量子力学の演算子は、古典物理学の物理量に対応する数学的な構造を持ちながらも、その振る舞いや性質において根本的な違いがあります。位置や運動量、角運動量は確定的な値ではなく、演算子として波動関数に作用し、その結果として物理量を確率的に記述します。この特徴により、量子力学は微視的な世界を精密に説明する理論として確立しています。