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正準交換関係と正準量子化

量子力学では、物理量を表す演算子の間の交換関係が重要な役割を果たします。ここでは、位置演算子と運動量演算子に関連する正準交換関係について詳しく説明します。位置演算子と運動量演算子の定義、同種演算子間の交換関係、そして正準交換関係について順を追って解説します。

位置演算子と運動量演算子の復習

位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ について簡単に復習しておきます。これらの演算子は、量子力学においてそれぞれ粒子の位置と運動量を表します。これらの演算子は、ヒルベルト空間上の波動関数に作用します。

位置演算子 $\hat{x}$

\begin{equation}
\hat{x}\psi(x) = x\psi(x),
\end{equation}
ここで、$\psi(x)$ は位置表現における波動関数です。

運動量演算子 $\hat{p}$

運動量演算子は位置表現では次のように表されます。
\begin{equation}
\hat{p}\psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x),
\end{equation}
ここで、$\hbar$ は換算プランク定数です。

同種演算子間の交換関係

量子力学では、演算子の積が交換するかどうかを調べることが重要です。演算子 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ の交換関係は次のように定義されます。
\begin{equation}
[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} – \hat{B}\hat{A}.
\end{equation}

位置演算子同士の交換関係

位置演算子 $\hat{x}$ 同士の交換関係を考えます。明らかに、
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{x}] = \hat{x}\hat{x} – \hat{x}\hat{x} = 0.
\end{equation}
位置演算子同士は可換であるため、交換関係はゼロです。

運動量演算子同士の交換関係

運動量演算子 $\hat{p}$ 同士の交換関係を考えます。運動量演算子 $\hat{p}$ の作用は微分演算であるため、
\begin{equation}
[\hat{p}, \hat{p}] = \hat{p}\hat{p} – \hat{p}\hat{p} = 0.
\end{equation}
運動量演算子同士も可換であるため、交換関係はゼロです。

位置演算子と運動量演算子の交換関係（正準交換関係）

位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の交換関係を調べます。これが正準交換関係と呼ばれるものです。
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} – \hat{p}\hat{x}.
\end{equation}
これを波動関数 $\psi(x)$ に作用させて調べます。

まず、$\hat{x}\hat{p}\psi(x)$ を計算します。
\begin{equation}
\hat{x}\hat{p}\psi(x) = \hat{x}\left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\right) = -i\hbar x \frac{\partial}{\partial x}\psi(x).
\end{equation}

次に、$\hat{p}\hat{x}\psi(x)$ を計算します。
\begin{equation}
\hat{p}\hat{x}\psi(x) = \hat{p}\left(x\psi(x)\right) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\left(x\psi(x)\right).
\end{equation}
ここで、積の微分則を適用すると、
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}\left(x\psi(x)\right) = \psi(x) + x \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}.
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\hat{p}\hat{x}\psi(x) = -i\hbar \psi(x) – i\hbar x \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}.
\end{equation}

これらを組み合わせると、
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}]\psi(x) = \hat{x}\hat{p}\psi(x) – \hat{p}\hat{x}\psi(x) = -i\hbar x \frac{\partial}{\partial x}\psi(x) – \left(-i\hbar \psi(x) – i\hbar x \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}\right).
\end{equation}
計算を整理すると、
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}]\psi(x) = i\hbar \psi(x).
\end{equation}
したがって、位置演算子と運動量演算子の交換関係は次のようになります。
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar.
\end{equation}

正準量子化の基礎

正準量子化とは、古典力学の変数を量子力学の演算子に置き換える手法を指します。古典力学では、位置 $x$ と運動量 $p$ の間には次のようなポアソン括弧が成り立ちます。
\begin{equation}
\{x, p\} = 1.
\end{equation}
正準量子化では、このポアソン括弧を正準交換関係に対応付けます。
\begin{equation}
\{x, p\} \to \frac{1}{i\hbar}[\hat{x}, \hat{p}].
\end{equation}
その結果、量子力学では次の正準交換関係が基本原理として採用されます。
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar.
\end{equation}

この正準交換関係は、位置と運動量の不確定性原理を導く基盤ともなります。不確定性原理は次のように表されます。
\begin{equation}
\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}.
\end{equation}
これは、位置と運動量を同時に任意の精度で測定することができないことを意味します。

今回のまとめ

位置演算子と運動量演算子の交換関係は量子力学の基本的な性質を表しています。同じ演算子（$\hat{x}$ 同士や $\hat{p}$ 同士）の交換関係はゼロですが、位置演算子と運動量演算子の交換関係は $[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ という正準交換関係に従います。この関係は、正準量子化の基本であり、量子力学の枠組みを支える重要な基礎理論です。