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古典力学と量子力学

これまで、調和振動子と水素原子という代表的なポテンシャルの問題を解いてきました。今回は、運動量の時間依存性を調べることで古典力学と量子力学のつながりを調べてみましょう。

運動量の平均値を時間で微分すると、次のようになります。
$$
\frac{d\hat{p}_{nx}}{dt}=\int\left(\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\boldsymbol{p}_{nx}\psi+\psi^*\boldsymbol{p}_{nx}\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)d\tau
$$
ここで、$d\tau=dx_1dy_1\cdots dz_N$ と定義されます。この式にシュレーディンガー方程式
$$
\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial\psi}{\partial t}+\boldsymbol{H}\psi=0,\ \ \boldsymbol{H}=\sum\frac{1}{2m_n}\left({\boldsymbol{p}_{nx}}^2+{\boldsymbol{p}_{ny}}^2+{\boldsymbol{p}_{nz}}^2\right)+\boldsymbol{U}
$$
を代入すると、
$$
\frac{d\hat{p}_{nx}}{dt}=\frac{2\pi i}{h}\int\left(\boldsymbol{H}^*\psi^*\boldsymbol{p}_{nx}\psi-\psi^*\boldsymbol{p}_{nx}\boldsymbol{H}\psi\right)d\tau
$$
となります。また、$\boldsymbol{H}$ がエルミート演算子であることを考慮すると、積分内の第1項は
$$
\int\psi^*\boldsymbol{H}\boldsymbol{p}_{nx}\psi d\tau
$$
に書き換えられるため、
$$
\frac{d\hat{p}_{nx}}{dt}=\frac{2\pi i}{h}\int\psi^*\left(\boldsymbol{H}\boldsymbol{p}_{nx}-\boldsymbol{p}_{nx}\boldsymbol{H}\right)\psi d\tau
$$
となります。

ここで、$\boldsymbol{H}$ の形に注目すると、
$$
\boldsymbol{H}\boldsymbol{p}_{nx}-\boldsymbol{p}_{nx}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{p}_{nx}-\boldsymbol{p}_{nx}\boldsymbol{U}=-\dfrac{h}{2\pi i}\dfrac{\partial U}{\partial x_n}
$$
であることがわかります。これを代入すると、
$$
\frac{d\hat{p}_{nx}}{dt}=-\int\psi^*\frac{\partial U}{\partial x_n}\psi d\tau
$$
が得られます。

同様に、$\hat{q}_{nx}$ を時間で微分すると、式 (109) の $\boldsymbol{p}_{nx}$ を $\boldsymbol{q}_{nx}$ に置き換えた形になります。このとき、
$$
\boldsymbol{H}\boldsymbol{q}_{nx}-\boldsymbol{q}_{nx}\boldsymbol{H}=\dfrac{1}{2m_n}\left({\boldsymbol{p}_{nx}}^2\boldsymbol{q}_{nx}-\boldsymbol{q}_{nx}{\boldsymbol{p}_{nx}}^2\right)=\dfrac{h}{2\pi i}\dfrac{\boldsymbol{p}_{nx}}{m_n}
$$
となるため、
$$
\frac{d\hat{q}_{nx}}{dt}=\frac{1}{m_n}\hat{p}_{nx}
$$
が導かれます。したがって、先ほどの式を利用すると、
$$
\begin{equation}
m_n\frac{d^2\hat{q}_{nx}}{dt^2}=-\int\psi^*\frac{\partial U}{\partial x_n}\psi d\tau
\end{equation}
$$
が得られます。

さらに、$\psi^*\psi$ が $\hat{q}_{nx}$ を中心とする狭い範囲（$\varDelta x_n$ 程度）以外では 0 となり、この範囲内で $\dfrac{\partial U}{\partial x_n}$ がほぼ一定と仮定します。この場合、式の右辺において $\dfrac{\partial U}{\partial x_n}\approx\dfrac{\partial U}{\partial\hat{q}_{nx}}$ として積分外に出し、
$$
\int\psi^*\psi d\tau=1
$$
を考慮すると、
$$
m_n\frac{d^2\hat{q}_{nx}}{dt^2}=-\frac{\partial U}{\partial\hat{q}_{nx}}
$$
が得られます。他の座標についても全く同様の関係式が得られます。この結果は、古典力学における運動方程式に他なりません。

したがって、$\varDelta x_n$ 程度の誤差や、不確定性原理による運動量の誤差を無視できる範囲では、古典力学が適用できることが示されます。この範囲では、粒子の運動軌道を考えることが許されます。

ただし注意すべき点として、確率波は時間とともに一般に拡散するという性質があります。ただし、特定の場合（例：単振動する質点の場合など）には拡散せず、平均座標が古典力学の法則に従い続けることもあります。しかし、その場合でも、ある時間が経過すると古典力学における粒子の概念は失われます。

さらに、この条件に従う $\psi$ を構成するには、一定エネルギーを持つシュレーディンガー方程式の特解を多く組み合わせる必要があります。そのため、エネルギーにもある程度の誤差が生じます。この誤差が平均値に比べて小さい場合にのみ、古典力学の概念がある時間内で妥当となるのです。