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演算子と行列

量子力学では、物理量は演算子（オペレーター）によって表現され、これらの演算子は状態ベクトルに作用して系の性質を記述します。このような演算子の行列表現は、量子力学の線形代数的な理解において重要な役割を果たします。ここでは、量子力学の演算子の行列表現について、基本的な概念から始めて、具体例を交えながら解説します。

ヒルベルト空間と状態ベクトル

量子力学の枠組みでは、系の状態はヒルベルト空間と呼ばれる複素ベクトル空間のベクトル $|\psi\rangle$ によって表されます。この空間には次の性質があります。

1) 内積が定義されており、2つのベクトル $|\psi\rangle$ と $|\phi\rangle$ に対して内積 $\langle\phi|\psi\rangle$ はスカラー量となります。
2) 状態ベクトルは規格化されており、$\langle\psi|\psi\rangle = 1$ が成り立ちます。

演算子はこの空間上で作用し、状態を変化させたり観測量を定義するために使用されます。

演算子の定義と性質

量子力学における演算子は、ヒルベルト空間の状態ベクトルに作用する線形写像です。一般的な演算子 $\hat{A}$ に対して次の性質が成り立ちます。

線形性: 任意の複素数 $c_1, c_2$ と状態ベクトル $|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle$ に対して、
\begin{equation}
\hat{A}(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle) = c_1\hat{A}|\psi_1\rangle + c_2\hat{A}|\psi_2\rangle.
\end{equation}

演算子の重要なクラスには次が含まれます：
1) エルミート演算子: 観測可能量を表す演算子であり、$\hat{A} = \hat{A}^\dagger$（エルミート共役が等しい）を満たします。
2) ユニタリ演算子: 時間発展や回転を表し、$\hat{U}^\dagger\hat{U} = \hat{U}\hat{U}^\dagger = \hat{I}$ を満たします。

基底と行列表現

ヒルベルト空間における任意の演算子は、適切な基底を選ぶことで行列として表現することができます。ここでは基底を $\{|e_1\rangle, |e_2\rangle, \dots\}$ とします。

演算子 $\hat{A}$ の行列表現は、基底における行列要素 $A_{ij}$ によって決定されます。これらは次のように定義されます。
\begin{equation}
A_{ij} = \langle e_i|\hat{A}|e_j\rangle.
\end{equation}

したがって、演算子 $\hat{A}$ は次のように展開できます。
\begin{equation}
\hat{A} = \sum_{i,j} A_{ij}|e_i\rangle\langle e_j|.
\end{equation}

このようにして、演算子 $\hat{A}$ は基底に依存する行列として表現されます。

観測量と固有値問題

観測量に対応する演算子はエルミート演算子であり、その固有値問題を解くことで観測可能な値が得られます。

エルミート演算子 $\hat{A}$ の固有値方程式は次の形式を取ります。
\begin{equation}
\hat{A}|\phi_n\rangle = a_n|\phi_n\rangle,
\end{equation}
ここで、$a_n$ は固有値、$|\phi_n\rangle$ は対応する固有ベクトルです。エルミート演算子の性質上、
1) 固有値 $a_n$ は実数。
2) 固有ベクトル $|\phi_n\rangle$ は互いに直交する。

基底として固有ベクトルを選ぶと、演算子 $\hat{A}$ の行列表現は対角行列になります。
\begin{equation}
\hat{A} = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots).
\end{equation}

具体例

スピン1/2系のパウリ行列

スピン1/2粒子の状態は2次元のヒルベルト空間で表されます。この空間における演算子は $2\times 2$ 行列で表現されます。特に重要な演算子としてパウリ行列があります。
\begin{equation}
\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation}

これらの行列は次の交換関係を満たします。
\begin{equation}
[\sigma_i, \sigma_j] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_k,
\end{equation}
ここで $\epsilon_{ijk}$ は完全反対称テンソルです。

一次元調和振動子の位置と運動量

一次元調和振動子における位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ は無限次元の行列表現を持ちます。それらは次の交換関係を満たします。
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar.
\end{equation}

基底としてエルミート演算子
\begin{equation}
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2
\end{equation}
の固有状態を選ぶと、$\hat{x}$ と $\hat{p}$ の行列表現は非対角成分を持つ無限次元行列として記述されます。

演算子の期待値

状態ベクトル $|\psi\rangle$ に対する演算子 $\hat{A}$ の期待値は次のように計算されます。
\begin{equation}
\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.
\end{equation}

この式は、行列形式では以下のように書けます。
\begin{equation}
\langle\hat{A}\rangle = \sum_{i,j} \psi_i^* A_{ij} \psi_j,
\end{equation}
ここで $\psi_i$ は状態ベクトル $|\psi\rangle$ の基底展開係数です。

今回のまとめ

量子力学における演算子の行列表現は、抽象的な概念を具体的に扱うための強力なツールです。基底を選ぶことで、演算子や状態を行列やベクトルとして表現し、線形代数の手法を利用して物理現象を解析できます。これにより、観測量の期待値や時間発展などを効率的に計算することが可能となります。