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多粒子の量子力学入門

これまで議論してきた量子力学は、粒子が1個の単粒子系について考えてきました。今回は、これまでの量子力学を多粒子系に拡張することについて話します。

正準交換関係と単粒子系

量子力学では、運動量演算子 $\hat{p}$ と位置演算子 $\hat{x}$ は以下の正準交換関係を満たします。
\[
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar
\]
ここで、$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} – \hat{B}\hat{A}$ は交換子を表します。

単一の粒子系では、波動関数 $\psi(x)$ が状態を記述します。この系のハミルトニアン $\hat{H}$ は典型的には次の形をとります。
\[
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x})
\]
ここで、$V(\hat{x})$ はポテンシャルエネルギーを表します。

多粒子系への拡張

多粒子系では、複数の粒子が関与するため、状態は高次元の波動関数 $\psi(x_1, x_2, \dots, x_N)$ によって記述されます。ここで、$N$ は粒子数です。これらの粒子がボース粒子かフェルミ粒子であるかによって、波動関数の対称性が異なります。

ボース粒子の波動関数は粒子交換に対して対称です。
\[
\psi(x_1, x_2, \dots, x_N) = \psi(x_2, x_1, \dots, x_N)
\]

フェルミ粒子の波動関数は粒子交換に対して反対称です。
\[
\psi(x_1, x_2, \dots, x_N) = -\psi(x_2, x_1, \dots, x_N)
\]

生成・消滅演算子

多粒子系を効率的に扱うために、生成演算子と消滅演算子を導入します。

生成演算子 $\hat{a}^\dagger$ と消滅演算子 $\hat{a}$

これらの演算子は以下の交換関係を満たします。

ボース粒子の場合 (交換関係)
\[
[\hat{a}_i, \hat{a}_j^\dagger] = \delta_{ij}, \quad [\hat{a}_i, \hat{a}_j] = [\hat{a}_i^\dagger, \hat{a}_j^\dagger] = 0
\]

フェルミ粒子の場合 (反交換関係)
\[
\{\hat{a}_i, \hat{a}_j^\dagger\} = \delta_{ij}, \quad \{\hat{a}_i, \hat{a}_j\} = \{\hat{a}_i^\dagger, \hat{a}_j^\dagger\} = 0
\]
ここで、$\{\hat{A}, \hat{B}\} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A}$ は反交換子を表します。

生成演算子 $\hat{a}_i^\dagger$ は粒子を特定の状態 $i$ に追加し、消滅演算子 $\hat{a}_i$ は状態 $i$ から粒子を取り除きます。これにより、多粒子系の状態を次のように表現できます。
\[
|n_1, n_2, \dots \rangle = \frac{(\hat{a}_1^\dagger)^{n_1} (\hat{a}_2^\dagger)^{n_2} \dots}{\sqrt{n_1! n_2! \dots}} |0\rangle
\]
ここで、$|0\rangle$ は粒子が存在しない真空状態を表します。

第二量子化

第二量子化の基礎

第二量子化では、多粒子系のハミルトニアンを生成・消滅演算子を用いて表現します。単粒子の基底 $\{ \phi_i(x) \}$ を選び、それに基づく場演算子を次のように定義します。
\[
\hat{\psi}(x) = \sum_i \phi_i(x) \hat{a}_i, \quad \hat{\psi}^\dagger(x) = \sum_i \phi_i^*(x) \hat{a}_i^\dagger
\]
ここで、$\hat{\psi}(x)$ は位置 $x$ における粒子の消滅を表し、$\hat{\psi}^\dagger(x)$ は粒子の生成を表します。

ハミルトニアンの形式

多粒子系のハミルトニアンは、通常以下の形をとります。
\[
\hat{H} = \int dx \; \hat{\psi}^\dagger(x) h(x) \hat{\psi}(x) + \frac{1}{2} \int dx dx’ \; \hat{\psi}^\dagger(x) \hat{\psi}^\dagger(x’) V(x, x’) \hat{\psi}(x’) \hat{\psi}(x)
\]

第一項は単粒子演算子 $h(x)$ を含む項で、運動エネルギーや外部ポテンシャルを表します。
第二項は粒子間相互作用を記述します。$V(x, x’)$ は位置 $x$ と $x’$ における相互作用ポテンシャルです。

応用例

自由ボース気体のハミルトニアン

自由ボース気体では、相互作用がないため、ハミルトニアンは次のようになります。
\[
\hat{H} = \sum_i \epsilon_i \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_i
\]
ここで、$\epsilon_i$ は単粒子エネルギー準位を表します。この場合の基底状態は、最も低いエネルギー準位に全粒子が集中するボース凝縮状態です。

フェルミ気体のハミルトニアン

非相互作用フェルミ気体では、ハミルトニアンはボース気体と同様に表現できますが、フェルミ粒子の占有状態はパウリの排他原理により制約されます。
\[
\hat{H} = \sum_i \epsilon_i \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_i, \quad n_i \in \{0, 1\}
\]
ここで、$n_i$ は占有数演算子を表します。