プランクの黒体輻射1
黒体輻射の理論は量子力学だけでなく統計力学でも重要なテーマです。今回と次回は2回にわたって黒体輻射について扱います。
黒体輻射の歴史
黒体輻射の概念は19世紀後半の物理学における重要な課題として浮上しました。当時、科学者たちは物体が熱を受けて発光する現象を理解しようとしていました。実験によって、物体が放射する光の波長分布がその温度に依存することが明らかになりました。この現象を理論的に説明することが、当時の物理学の重要な課題となりました。
特に、鉄を加熱すると赤熱し、さらに温度を上げると白熱する現象は古くから知られていましたが、この放射エネルギーの正確な分布を予測する理論は存在していませんでした。19世紀末、ウィーンの変位則やレイリー・ジーンズの法則が提案されましたが、これらは高温や短波長の領域で実験結果と一致しませんでした。特に、レイリー・ジーンズの法則は短波長において無限大のエネルギー密度を予測するという”紫外線の発散”と呼ばれる問題を抱えていました。
この課題を解決するため、ドイツの物理学者マックス・プランクは1900年に全く新しい仮説を提案しました。彼の仮説は、放射エネルギーが不連続な単位（量子）として放出されるというものでした。この仮説は、後に量子力学の発展の基礎となり、現代物理学の幕開けを告げるものでした。
黒体輻射とは何か
黒体とは、入射するすべての電磁波を完全に吸収し、反射や透過を全く行わない理想的な物体を指します。黒体が熱平衡状態にあるとき、その表面から放射される電磁波を黒体輻射と呼びます。黒体輻射は、物体の温度のみに依存し、その波長分布はプランクの放射法則によって記述されます。
黒体輻射は以下の特徴を持っています：
温度依存性: 黒体の温度が高くなると、放射のピーク波長は短くなり、全エネルギーが増加します。
波長分布: 放射エネルギーの波長分布は、ウィーンの変位則やシュテファン=ボルツマンの法則といった経験的法則によって部分的に記述されます。
理想化: 実際の物体は完全な黒体ではありませんが、多くの実験において黒体に近い振る舞いを示す物体が存在します。
黒体輻射の研究は、光や熱の本質を探求する上で重要であり、プランクの理論がそれを定式化する鍵となりました。
プランクの放射公式の導出
プランクは、黒体輻射のエネルギー密度を説明するために新しい理論を構築しました。以下にその導出過程を説明します。
共振モデル
黒体内部を電磁波が反射し合う理想的な共振器とみなします。この共振器内の電磁波のモード（振動数）は離散的であり、各モードのエネルギーを計算します。
エネルギー量子化
プランクは、エネルギーが連続的に変化するのではなく、離散的な単位で存在すると仮定しました。振動数νを持つモードのエネルギーは次式で表されます。
E=nhν(n=0,1,2,…)
ここで、hはプランク定数です。
ボルツマン分布
熱平衡状態では、エネルギーEを持つモードの占有確率は次式で与えられます。
P(E)∝e−E/kBT
ここで、kBはボルツマン定数、Tは温度です。
平均エネルギー
各モードの平均エネルギーを計算します。
⟨E⟩=∑∞n=0nhνe−nhν/kBT∑∞n=0e−nhν/kBT
これを計算すると：
⟨E⟩=hνehν/kBT–1
エネルギー密度
電磁波のエネルギー密度u(ν,T)は、各モードのエネルギーにモード密度を掛け合わせたものです。モード密度は次式で与えられます。
ρ(ν)=8πν2c3
したがって、
u(ν,T)=ρ(ν)⋅⟨E⟩=8πhν3c3⋅1ehν/kBT–1
これがプランクの放射公式です。
プランクの公式の意義
プランクの公式は、短波長や長波長の領域で実験結果と一致するだけでなく、物理学の根本的な枠組みを変えるものでした。以下のような意義があります：
紫外線問題の解決: レイリー・ジーンズの法則が予測した短波長でのエネルギー発散を解決しました。
量子力学の端緒: エネルギー量子化という考え方は、量子力学の発展につながりました。
温度と放射エネルギーの関係の解明: 黒体輻射の全エネルギーを計算することで、シュテファン=ボルツマンの法則が導かれます。
