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第10講：加法公式

　一つの関数$f\left(u\right)$について、一般に$f\left(u\right)$、$f\left(v\right)$と$f\left(u+v\right)$の間の関係を表した式をその関数の加法公式（または加法定理）といいます。ただし$u$、$v$は変数の二つの値です。

例えば$e^u$の加法公式は$e^{u+v}=e^ue^v$、$\sin u$の加法公式は　$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$ですね。

もし$\sin$のみで表そうと思えば$\cos u=\pm\sqrt{1-\sin^2u}$等と書き直せば良いことになります。同様に、楕円関数$\mathrm{sn}\ u$の加法公式を求める一つの方法を次に述べます。まず次のような微分方程式を考えます。
\[
\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2x^2\right)}}+\frac{dy}{\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-k^2y^2\right)}}=0\tag{1}
\]
この方程式はいわゆる変数分離形に属するから簡単に解けます。すなわち、今
\[
\left.\begin{array}{l}
\displaystyle u=\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2x^2\right)}}\\
\displaystyle v=\int_0^y\frac{dy}{\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-k^2y^2\right)}}
\end{array}\right\}\tag{2}
\]
とおけば
\[
u+v=c\hspace{1cm}\left(cは定数\right)\tag{3}
\]
は明らかに(1)の解です。

さて、(2)から
\[
\frac{dx}{du}=\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-k^2x^2\right)},\ \ \ \
\frac{dy}{dv}=\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-k^2y^2\right)}
\]
を得ます。ここで(3)を参照すればさらに次の式を得ることができます。
\[
\frac{dy}{du}=-\frac{dy}{dv}=-\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(1-k^2y^2\right)}
\]
これらの式から
\begin{eqnarray*}
\frac{d^2x}{du^2}&=&-\left(1+k^2\right)x+2k^2x^3\\
\frac{d^2y}{du^2}&=&-\left(1+k^2\right)y+2k^2y^3
\end{eqnarray*}
したがって
\[
\frac{\displaystyle y\frac{d^2x}{du^2}-x\frac{d^2y}{du^2}}{\displaystyle y^2\left(\frac{dx}{du}\right)^2-x^2\left(\frac{dy}{du}\right)^2}=-\frac{2k^2xy}{1-k^2x^2y^2}
\]
を得ます。これを変形すれば
\[
\frac{\displaystyle y\frac{d^2x}{du^2}-x\frac{d^2y}{du^2}}{\displaystyle y\frac{dx}{du}-x\frac{dy}{du}}=-\frac{\displaystyle2k^2xy\left(y\frac{dx}{du}+x\frac{dy}{du}\right)}{1-k^2x^2y^2}
\]
さらにこの両辺を$u$に関して積分すれば
\[
\log\left(y\frac{dx}{du}-x\frac{dy}{du}\right)=\log\left(1-k^2x^2y^2\right)+c’\hspace{1cm}\left(c’ は定数\right)
\]
となります。これからただちに
\[
\frac{\displaystyle y\frac{dx}{du}-x\frac{dy}{du}}{1-k^2x^2y^2}=C\hspace{1cm}\left(Cは定数\right)\tag{4}
\]
を得ます。(4)を$u,v$で表すには、これに
\[
\begin{array}{rl}
x=\mathrm{sn}\ u, & y=\mathrm{sn}\ v\\
\displaystyle\frac{dx}{du}=\mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u, & \displaystyle\frac{dy}{du}=-\mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v
\end{array}
\]
を代入すれば良いです。これによって(4)は
\[
\frac{\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v+\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}{1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}=C\tag{5}
\]
となります。

(5)もまた微分方程式(1)の解であることが分かります。すると(1)は第一階の常微分方程式であるから、これが(3)及び(5)の二通りの解をもつとすれば、これらの両式の左辺の間には何らかの関数関係がなければなりません。よって試しに(5)の左辺を$f\left(u+v\right)$に等しいとおき、ここにおいて$v=0$とすれば
\[
\mathrm{sn}\ u=f\left(u\right)
\]
となります。ゆえに関数$f$は$\mathrm{sn}$であることが分かります。

これによって次の公式を得ることができます。
\[
\mathrm{sn}\left(u+v\right)=\frac{\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v+\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}{1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}\tag{I}
\]
これはすなわち$\mathrm{sn}$の加法公式です。

(I)の分母を$D$で表せば
\[
D=\mathrm{cn}^2u+\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{dn}^2v=\mathrm{cn}^2v+\mathrm{sn}^2v\ \mathrm{dn}^2u
\]
であることが容易に証明されます。よって
\begin{eqnarray*}
\mathrm{cn}^2\left(u+v\right)&=&1-\mathrm{sn}^2\left(u+v\right)\\
&=&\frac{D^2-\left(\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v+\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u\right)^2}{D^2}
\end{eqnarray*}
この分子において
\[
D^2=\left(\mathrm{cn}^2u+\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{dn}^2v\right)\left(\mathrm{cn}^2v+\mathrm{sn}^2v\ \mathrm{dn}^2u\right)
\]
とおいて計算すれば結局
\[
\mathrm{cn}\left(u+v\right)=\frac{\mathrm{cn}\ u\ \mathrm{cn}\ v-\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{sn}\ v\ \mathrm{dn}\ u\ \mathrm{dn}\ v}{1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}\tag{II}
\]
を得ます。これはすなわち$\mathrm{cn}$関数の加法公式です。また同様にして
\[
D=\mathrm{dn}^2u+k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{cn}^2v=\mathrm{dn}^2v+k^2\mathrm{sn}^2v\ \mathrm{cn}^2u
\]
となることを利用すれば
\[
\mathrm{dn}\left(u+v\right)=\frac{\mathrm{dn}\ u\ \mathrm{dn}\ v-k^2\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ v}{1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}\tag{III}
\]
を得ます。これはすなわち$\mathrm{dn}$関数の加法公式です。

さてここで
\[
\mathrm{sn}\ K=1,\ \ \mathrm{cn}\ K=0,\ \ \mathrm{dn}\ K=k’
\]
となることに注意すれば、上の加法公式によりただちに次の結果を得ます。
\[
\begin{array}{ll}
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+K\right)=\frac{\mathrm{cn}\ u}{\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+K\right)=-\frac{k’\mathrm{sn}\ u}{\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+K\right)=\frac{k’}{\mathrm{dn}\ u}
\end{array}\right. &
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+2K\right)=-\mathrm{sn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+2K\right)=-\mathrm{cn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+2K\right)=\mathrm{dn}\ u
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+3K\right)=-\frac{\mathrm{cn}\ u}{\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+3K\right)=\frac{k’\mathrm{sn}\ u}{\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+3K\right)=\frac{k’}{\mathrm{dn}\ u}
\end{array}\right. &
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}\left(u+4K\right)=\mathrm{sn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{cn}\left(u+4K\right)=\mathrm{cn}\ u\\
\displaystyle\mathrm{dn}\left(u+4K\right)=\mathrm{dn}\ u
\end{array}\right.
\end{array}
\]
この(I)、(II)、(III)を他の形に直したり、またはこれから種々雑多な公式を誘導したりすることも出来ますがここでは省略することにして、ただ二三の簡単なものを次に挙げておくに留めます。
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{sn}\left(u+v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{sn}^2u-\mathrm{sn}^2v}{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}\\
\mathrm{cn}\left(u+v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ v-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ u}{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}\\
\mathrm{dn}\left(u+v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ u-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ v}{\displaystyle\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ v\ \mathrm{dn}\ v-\mathrm{sn}\ v\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}
\end{array}\right.
\]
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{sn}\ 2u=\frac{\displaystyle2\mathrm{sn}\ u\ \mathrm{cn}\ u\ \mathrm{dn}\ u}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^4u}\\
\mathrm{cn}\ 2u=\frac{\displaystyle1-2\mathrm{sn}^2u+k^2\mathrm{sn}^4u}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^4u}\\
\mathrm{dn}\ 2u=\frac{\displaystyle1-2k^2\mathrm{sn}^2u+k^2\mathrm{sn}^4u}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^4u}
\end{array}\right.
\]
\[
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\mathrm{sn}^2\frac{u}{2}=\frac{\displaystyle1-\mathrm{cn}\ u}{\displaystyle1+\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{cn}^2\frac{u}{2}=\frac{\displaystyle\mathrm{dn}\ u+\mathrm{cn}\ u}{1+\mathrm{dn}\ u}\\
\displaystyle\mathrm{dn}^2\frac{u}{2}=\frac{\displaystyle k^{‘2}+\mathrm{dn}\ u+k^{‘}\mathrm{cn}\ u}{\displaystyle1+\mathrm{dn}\ u}
\end{array}\right.
\]
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{sn}\left(u+v\right)\mathrm{sn}\left(u-v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{sn}^2u-\mathrm{sn}^2v}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}\\
\mathrm{cn}\left(u+v\right)\mathrm{cn}\left(u-v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{cn}^2u-\mathrm{sn}^2v\ \mathrm{dn}^2u}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}\\
\mathrm{dn}\left(u+v\right)\mathrm{dn}\left(u-v\right)=\frac{\displaystyle\mathrm{dn}^2u-k^2\mathrm{sn}^2v\ \mathrm{cn}^2u}{\displaystyle1-k^2\mathrm{sn}^2u\ \mathrm{sn}^2v}
\end{array}\right.
\]