$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
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$\zeta$関数

前々回、$f\left(u\right)$から$f_2\left(u\right)$を（すなわち$\displaystyle\frac{1}{2}\wp’\left(u\right)$から$\wp\left(u\right)$を）導いたのと同様の手段を
\[
\wp\left(u\right)=\frac{1}{u^2}+{\sum}’\left\{\frac{1}{\left(u-w\right)^2}-\frac{1}{w^2}\right\}
\]
に対して行えばすべての極の位数を$1$に下げることが出来ます。しかし、第一位の楕円関数は存在しないためこのようして得る関数はもはや楕円関数ではないことに注意が必要です。とにかく、その関数を作ってみると次のようになります。
\begin{eqnarray*}
\int_0^u\left\{\wp\left(u\right)-\frac{1}{u^2}\right\}du&=&\int_0^u{\sum}’\left\{\frac{1}{\left(u-w\right)^2}-\frac{1}{w^2}\right\}du\\
&=&{\sum}’\int_0^u\left\{\frac{1}{\left(u-w\right)^2}-\frac{1}{w^2}\right\}du\\
&=&-{\sum}’\left\{\frac{1}{u-w}+\frac{1}{w}+\frac{u}{w^2}\right\}
\end{eqnarray*}
この負号を省けば、$0$以外のすべての$w$点において主部が$\displaystyle\frac{1}{u-w}$の一位の極をもつ関数を得ることができます。よって$u=0$においても同様の極をもたないように$\displaystyle\frac{1}{u}$の項を加えて、次のような新しい関数を作りましょう。
\[
\zeta\left(u\right)=\frac{1}{u}+{\sum}’\left\{\frac{1}{u-w}+\frac{1}{w}+\frac{u}{w^2}\right\}\tag{1}
\]
これと$\wp\left(u\right)$の関係は次の式で表されます。
\[
\left.\begin{array}{l}
\displaystyle\zeta\left(u\right)=\frac{1}{u}-\int_0^u\left\{\wp\left(u\right)-\frac{1}{u^2}\right\}du\hspace{1cm}\\
\displaystyle\wp\left(u\right)=-\zeta’\left(u\right)
\end{array}\right\}\tag{2}
\]

　(1)からただちに判る通り$\zeta\left(u\right)$は奇関数で、かつ$u,\omega_1,\omega_3$に関して$-1$次の同次関数です。またその展開式は$\wp\left(u\right)$のそれから容易に導かれます。
\[
\zeta\left(u\right)=\frac{1}{u}-\frac{g_2}{60}u^3-\frac{g_3}{140}u^5-\frac{{g_2}^2}{8400}u^7-\frac{g_2g_3}{18480}u^9-\cdots
\]

　さて最初に断ってある通り、$\zeta\left(u\right)$は楕円関数ではありません。では、$u$を$u+2\omega_1$に変えたとき$\zeta\left(u\right)$はどう変わるのでしょうか。次にこれを議論することにしましょう。

　今、
\[
\zeta\left(u+2\omega_1\right)=\zeta\left(u\right)+Z\tag{3}
\]
とおけば、一般に$Z$は$u$と$\omega_1,\omega_3$の関数と考えるべきです。(3)の両辺を$u$に関して微分すると、(2)により
\[
-\wp\left(u+2\omega_1\right)=-\wp\left(u\right)+\frac{\partial Z}{\partial u}
\]
となります。従って、
\[
\frac{\partial Z}{\partial u}=0
\]
故に$Z$は$u$には無関係で、$\omega_1,\omega_3$のみの関数であることが分かります。よって(3)において特に$u=-\omega_1$とおいても$Z$には影響がないから、
\[
\zeta\left(\omega_1\right)=\zeta\left(-\omega_1\right)+Z
\]
$\zeta\left(u\right)$は奇関数ですから、$\zeta\left(-\omega_1\right)=-\zeta\left(\omega_1\right)$、かつ$\omega_1$は$w$点ではありません。従って、$\zeta\left(\omega_1\right)$は有限値です。これを$\eta_1$で表せば
\[
\eta_1=-\eta_1+Z,~~~従って、~~~ Z=2\eta_1
\]
これを(3)に代入すれば次の公式を得ることができます。
\[
\zeta\left(u+2\omega_1\right)=\zeta\left(u\right)+2\eta_1,\ \ \ \eta_1=\zeta\left(\omega_1\right)
\]
この関係は$\omega_1$に限ったことではなく、一般に
\[
\zeta\left(u+2\omega_i\right)=\zeta\left(u\right)+2\eta_i,\ \ \ \eta_i=\zeta\left(\omega_i\right)\ \ \ \left(i=1,2,3\right)\tag{4}
\]
であることが証明できます。更に、これを結合すれば
\[
\zeta\left(u+2h_1\omega_1+2h_3\omega_3\right)=\zeta\left(u\right)+2h_1\eta_1+2h_3\eta_3
\]
となります。ここで、$h_1,h_3$は任意の整数です。特に$h_1=h_3=-1$とおけば、
\[
\zeta\left(u-2\omega_1-2\omega_3\right)=\zeta\left(u+2\omega_2\right)=\zeta\left(u\right)-2\eta_1-2\eta_3
\]
となります。これを(4)と比較すれば
\[
\eta_1+\eta_2+\eta_3=0\tag{5}
\]
の関係を得ることができます。

注意：　$\zeta\left(u\right)$は周期関数ではないが便宜上$2\omega_1,2\omega_3$（一般には$w$）をその周期と言います。

　次に、$P’$の平行四辺形は同回におけるのと同じ意味をもつものとして、以下のような操作をしてみます。
\[
\int_{\left(P’\right)}\zeta\left(u\right)du=\int_a^{a+2\omega_1}+\int_{a+2\omega_1}^{a-2\omega_2}+\int_{a-2\omega_2}^{a+2\omega_3}+\int_{a+2\omega_3}^a=2\pi i\tag{6}
\]
この積分の値が$2\pi i$であることは$P’$の中に$\zeta\left(u\right)$の極が唯一つあってその留数が$1$であることから直ちに分かります。さて(6)の右辺における第三の積分において$u=v+2\omega_3$の置換を行えば、
\begin{eqnarray*}
\int_{a-2\omega_2}^{a+2\omega_3}\zeta\left(u\right)du&=&\int_{a+2\omega_1}^a\zeta\left(v+2\omega_3\right)dv\\
&=&-\int_a^{a+2\omega_1}\left\{\zeta\left(v\right)+2\eta_3\right\}dv\\
&=&-\int_a^{a+2\omega_1}\zeta\left(v\right)dv-4\eta_3\omega_1
\end{eqnarray*}
故にこれと第一の積分を加えると
\[
\int_a^{a+2\omega_1}+\int_{a-2\omega_2}^{a+2\omega_3}=-4\eta_3\omega_1
\]
同様に計算して
\[
\int_{a+2\omega_1}^{a-2\omega_2}+\int_{a+2\omega_3}^a=+4\eta_1\omega_3
\]
よって(6)から
\[
\eta_1\omega_3-\eta_3\omega_1=\frac{\pi i}{2}\tag{7}
\]
の式を得ることができます。これをLegendre の関係式と言います。(5)及び$\omega_1+\omega_2+\omega_3=0$の関係を利用すれば、(7)は
\[
\eta_2\omega_1-\eta_1\omega_2=\frac{\pi i}{2},\ \ \ \eta_3\omega_2-\eta_2\omega_3=\frac{\pi i}{2}
\]
等と書き直されることになります。