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テータ関数とシグマ関数

今回はテータ関数とシグマ関数の関係を調べてみよう。

$\sigma$関数は整関数で、その周期に対する性質や各周期平行四辺形内に一位の零点を一つずつもつことなどが$\vartheta$関数とよく似ている。

両者の関係を見出すために、

\[\overline{\sigma}(u)=e^{\displaystyle\small{-\frac{\eta_1}{2\omega_1}u^2}}\sigma(u)\]

の関数を作れば、$\sigma$関数の性質からただちに次の結果が証明できる。

\[\left\{\begin{array}{l}\overline{\sigma}\left(u+2\omega_1\right)=-\overline{\sigma}(u)\\\overline{\sigma}\left(u+2\omega_3\right)=-e^{\displaystyle\small{-\frac{\pi i}{\omega_2}\left(u+\omega_3\right)}}\overline{\sigma}(u)\end{array}\right.\]

前のように

\[\frac{u}{2\omega_1}=v,\ \ \ \frac{\omega_3}{\omega_1}=\tau\]とし、かつ\[\overline{\sigma}\left(2\omega_1v\right)=\varphi(v)\]

とすれば、上の結果は次のように書き直される。

\[\left\{\begin{array}{l}\varphi\left(u+1\right)=-\varphi(v)\\\varphi\left(u+\tau\right)=-e^{-\pi i\left(2v+\tau\right)}\varphi(v)\end{array}\right.\]

これはちょうど$\vartheta_1(v)$の周期に対する性質と同じである。ゆえに

\[\frac{\varphi(v)}{\vartheta_1(v)}\]

は楕円関数である。そして$\vartheta_1(v)=0$となるときは同時に$\varphi(v)=0$にもなるから整関数でなければならない。したがってこの関数は実は定数に等しい。これを$C$とすれば

\[\varphi(v)=C\vartheta_1(v)\]

これをもとに戻せば

\[e^{\displaystyle\small{-\frac{\eta_1}{2\omega_1}u^2}}\sigma(u)=e^{-2\eta_1\omega_1v^2}\sigma\left(2\omega_1v\right)=C\vartheta_1(v)\]

これを$v$で微分すれば

\[-4\eta_1\omega_1ve^{-2\eta_1\omega_1v^2}\sigma\left(2\omega_1v\right)+2\omega_1e^{-2\eta_1\omega_1v^2}\sigma^\prime\left(2\omega_1v\right)=C{\vartheta_1}^\prime(v)\]

となる。ここで$v=0$とおけば、$\sigma^\prime\left(0\right)=1$だから、

\[2\omega_1=C{\vartheta_1}^\prime\]

という結果を得る。よって、

\[\sigma(u)=2\omega_1e^{2\eta_1\omega_1v^2}\frac{\vartheta_1(v)}{{\vartheta_1}^\prime}\tag{$1$}\label{1}\]

$\vartheta$関数は級数にしても乗積にしても比較的速やかに収束するので実際の計算には便利である。だが、$\vartheta$によって$\sigma$が表されたのであるから$\eqref{1}$によって$\sigma$関数の値を容易に算出することができる。

これを知るには$\eta_1$を知らなければならない。さて、$\sigma$だけではなくこれまでで既知の諸関数を$\vartheta$で表そうというのが私たちの目的だ。

$\eqref{1}$において$u$を$u+\omega_1$に、$v$を$v+\dfrac{1}{2}$に変えれば、

\[\sigma\left(u+\omega_1\right)=2\omega_1e^{\displaystyle\small{2\eta_1\omega_1\left(v+\frac{1}{2}\right)^2}}\frac{\vartheta_2(v)}{{\vartheta_1}^\prime}\]

を得る。ここで$u=0\ \left(v=0\right)$とおけば、

\[\sigma\left(\omega_1\right)=2\omega_1e^{\displaystyle\small{\frac{1}{2}\eta_1\omega_1}}\frac{\vartheta_2}{{\vartheta_1}^\prime}\]

となる。したがって、

\[\left.\begin{array}{ll}& \displaystyle\sigma_1(u)=\frac{e^{-\eta_1u}\sigma\left(u+\omega_1\right)}{\sigma\left(\omega_1\right)}=e^{2\eta_1\omega_1v^2}\frac{\vartheta_2(v)}{\vartheta_2} & \\& \displaystyle\sigma_2(u)=e^{2\eta_1\omega_1v^2}\frac{\vartheta_3(v)}{\vartheta_3}\\& \displaystyle\sigma_3(u)=e^{2\eta_1\omega_1v^2}\frac{\vartheta_0(v)}{\vartheta_0}\end{array}\right\}\tag{2}\label{2}\]

が得られる。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017