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テータ関数と楕円積分の計算1

ここまで、楕円積分の研究から出発し、これを三種の標準形に分類した。

その中の第一種楕円積分については数値計算法を議論したり、その逆関数を考えるなどして詳しく調べたが、他の二種はあまり議論していなかった。

今回は残りの二種類、つまり第二種楕円積分と第三種楕円積分について考える。

楕円積分の第二種標準形を

\[\int_0^z\sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz\]

とし、ここで

\[z=\mathrm{sn}\left(u,k\right)\]

と置換すれば、

\[\int_0^z\sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz=\int_0^u\frac{\mathrm{dn}\ u}{\mathrm{cn}\ u}d\left(\mathrm{sn}\ u\right)=\int_0^u\mathrm{dn}^2udu\]

となる。我々はJacobiにしたがって

\[E(u)=\int_0^u\mathrm{dn}^2udu\tag{$1$}\label{1}\]

と書くことにしよう。これを変形する準備として、以前議論した加法公式において$v=\omega_3$とおいた式を作ると、

\begin{eqnarray*}\wp\left(u+\omega_3\right)+\wp(u)+e_3&=&\frac{1}{4}\frac{\wp^\prime(u)^2}{\left\{\wp(u)-e_3\right\}^2}\\&=&\frac{\left\{\wp(u)-e_1\right\}\left\{\wp(u)-e_2\right\}}{\wp(u)-e_3}\end{eqnarray*}

したがって、

\begin{eqnarray*}\wp\left(u+\omega_3\right)-e_3&=&\frac{\left\{\wp(u)-e_1\right\}\left\{\wp(u)-e_2\right\}}{\wp(u)-e_3}-\wp(u)-2e_3\\&=&\frac{e_1e_2+2{e_3}^2}{\wp(u)-e_3}=\frac{\left(e_1-e_3\right)\left(e_2-e_3\right)}{\wp(u)-e_3}\end{eqnarray*}

従って、

\[\frac{\wp\left(u+\omega_3\right)-e_3}{e_1-e_3}=\frac{e_2-e_3}{\wp(u)-e_3}\]

となる。この右辺をさらに書き直せば、

\[\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}\frac{e_1-e_3}{\wp(u)-e_3}=k^2\mathrm{sn}^2w\hspace{1cm}\]

となる。ゆえに、

\begin{eqnarray*}\mathrm{dn}^2w&=&1-k^2\mathrm{sn}^2w=1-\frac{\wp\left(u+\omega_3\right)-e_3}{e_1-e_3}\\&=&\frac{e_1-\wp\left(u+\omega_3\right)}{e_1-e_3}\end{eqnarray*}

そこで、この式から以下の結果が得られる。

\begin{eqnarray*}E(w)&=&\int_0^w\frac{e_1-\wp\left(u+\omega_3\right)}{e_1-e_3}dw\hspace{2cm}\left(w=u\sqrt{e_1-e_3}\right)\\&=&\frac{1}{\sqrt{e_1-e_3}}\int_0^u\left\{e_1-\wp\left(u+\omega_3\right)\right\}du\\&=&\frac{1}{\sqrt{e_1-e_3}}\left\{e_1u+\zeta\left(u+\omega_3\right)-\eta_3\right\}\tag{2}\label{2}\end{eqnarray*}

これで第二種積分を既知の関数で表すことができた。後の議論で必要だから、これをさらに積分したものも考える。\begin{eqnarray*}\int_0^wE(w)dw&=&\int_0^u\left\{e_1u+\zeta\left(u+\omega_3\right)-\eta_3\right\}du\\&=&\frac{1}{2}e_1u^2+\log\frac{\sigma\left(u+\omega_3\right)}{\sigma\left(\omega_3\right)}-\eta_3u\end{eqnarray*}

これの指数関数を$\varOmega(w)$と書くことにすると

\[\varOmega(w)=\exp\int_0^wE(w)dw=e^{\displaystyle\small{\frac{1}{2}e_1u^2}}\sigma_3(u)\tag{3}\label{3}\]

となる。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017