$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
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テータ関数と双曲線の弧長

前回は楕円の弧の長さを計算することを通して楕円積分についての理解を深めた。

楕円について長さを計算できるのだから、同じことを双曲線についてもやってみよう。

直交軸に関して

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

の双曲線の$\left(a,\ 0\right)$から$\left(x,\ y\right)$までの弧長は

\[L=\frac{1}{b}\int_0^y\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)y^2+b^4}{y^2+b^2}}dy\]

によって求められる。ここで、

\[y=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\tan\theta\]

とおけば、

\[L=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\int_0^\theta\frac{d\theta}{\cos^2\theta\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}},\hspace{1cm}k^2=\frac{a^2}{a^2+b^2}\]

となる。また

\[u=\int_0^\theta\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}\]

とおいて、$u$を変数に用いれば

\[\sin\theta=\mathrm{sn}\ u,\hspace{1cm}\cos\theta=\mathrm{cn}\ u,\hspace{1cm}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}=\mathrm{dn}\ u\]\[d\theta=\mathrm{dn}\ udu\]

となる。したがって

\[L=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\int_0^u\frac{du}{\mathrm{cn}^2u}\]

という結果を得る。

\[\frac{1}{\mathrm{cn}\ u}=\frac{ik}{k^\prime}\mathrm{cn}\left(u+K+iK^\prime\right),\hspace{1cm}k^\prime=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

これによって、$L$は以下のようにあらわせる。

\[L=-\sqrt{a^2+b^2}\int_0^uk^2\mathrm{cn}^2\left(u+K+iK^\prime\right)du\]

となる。さて

\[k^2\mathrm{cn}^2u=k^2-k^2\mathrm{sn}^2u=k^2-\frac{\varTheta^{\prime\prime}\left(0\right)}{\varTheta\left(0\right)}+\frac{d^2}{du^2}\log\varTheta(u)\]

したがって

\[k^2\mathrm{cn}^2\left(u+K+iK^\prime\right)=k^2-\frac{\varTheta^{\prime\prime}\left(0\right)}{\varTheta\left(0\right)}+\frac{d^2}{du^2}\log\varTheta\left(u+K+iK^\prime\right)\]

である。すると$\varTheta$の意味はもともと

\[\varTheta(u)=\vartheta_0\left(\frac{u}{2\omega_1\sqrt{e_1-e_3}}\right)\]

だったのだから、テータ関数の表式として以下を得る。

\begin{eqnarray*}\varTheta\left(u+K+iK^\prime\right)&=&\vartheta_0\left(\frac{u}{2\omega_1\sqrt{e_1-e_3}}+\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}\right)\\&=&\varepsilon\vartheta_2\left(\frac{u}{2\omega_1\sqrt{e_1-e_3}}\right)\end{eqnarray*}

ここに$\varepsilon$は$u$の一次式の指数関数である。ここに現れた$\vartheta_2$を$u$の関数と考えたものを$H_1(u)$で表せば

\[k^2\mathrm{cn}^2\left(u+K+iK^\prime\right)=k^2-\frac{\varTheta^{\prime\prime}\left(0\right)}{\varTheta\left(0\right)}+\frac{d^2}{du^2}\log H_1(u)\]

となる。したがって

\begin{eqnarray*}L&=&-\sqrt{a^2+b^2}\int_0^u\left\{k^2-\frac{\varTheta^{\prime\prime}\left(0\right)}{\varTheta\left(0\right)}+\frac{d^2}{du^2}\log H_1(u)\right\}du\\&=&\sqrt{a^2+b^2}\left\{\left(\frac{\varTheta^{\prime\prime}\left(0\right)}{\varTheta\left(0\right)}-k^2\right)u-\frac{{H_1}^\prime(u)}{H_1(u)}\right\}\end{eqnarray*}

という結論に至る。

ここで、Jacobiの記号では$\vartheta_0(v)$、$\vartheta_1(v)$、$\vartheta_2(v)$、$\vartheta_3(v)$を$w$の関数と考えたものをそれぞれ$\varTheta(w)$、$H(w)$、$H_1(w)$、$\varTheta_1(w)$で表していることに注意すること。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017