$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$

代数的Bethe 仮説法1

ここでは代数的Bethe 仮説法を用いて$\mathcal{T}=A+D$の固有値と固有ベクトルを求める。今、必ずしもtrigonometric matrix やrational matrix の場合を考えているわけではないということ（$u$の関数であるという制限を課しているわけではないということ）に注意せよ。さて、これは以下のようなステップで行う。

ステップ1：最高ウェイト状態$\Omega^+$が$\mathcal{T}$の固有ベクトルであることを示す

まず、最高ウェイト状態$\Omega^+$が$\mathcal{T}$の固有ベクトルであるという事を示そう。今、

\begin{equation}
\Omega^+=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\cdots\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)
\end{equation}

である。ところで、$R$は今、単位行列とPauli 行列を用いて以下のように書くことが出来る。

\begin{equation}
R=\left(
\begin{array}{cccc}
a&0&0&0\\
0&b&c&0\\
0&c&b&0\\
0&0&0&a
\end{array}
\right)=\dfrac{a+b}{2}\sigma^0\otimes\sigma^0+\dfrac{c}{2}\sigma^1\otimes\sigma^1+\dfrac{c}{2}\sigma^2\otimes\sigma^2+\dfrac{a-b}{2}\sigma^3\otimes\sigma^3\label{7}
\end{equation}

但し、

\begin{equation}
\sigma^0=\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right)　,　\sigma^1=\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0
\end{array}
\right)　,　\sigma^2=\left(
\begin{array}{cc}
0&-i\\
i&0
\end{array}
\right)　,　\sigma^3=\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&-1
\end{array}
\right)
\end{equation}

であり、$\sigma^0$が単位行列、それ以外がPauli 行列である。

問題14

(7)を確かめよ。

解答14

(7)の右辺を計算すると、
\begin{align}
&\dfrac{a+b}{2}\sigma^0\otimes\sigma^0+\dfrac{c}{2}\sigma^1\otimes\sigma^1+\dfrac{c}{2}\sigma^2\otimes\sigma^2+\dfrac{a-b}{2}\sigma^3\otimes\sigma^3\nonumber\\
=&\dfrac{a+b}{2}\left(
\begin{array}{rrrr}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)+\dfrac{c}{2}\left(
\begin{array}{rrrr}
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}
\right)+\dfrac{c}{2}\left(
\begin{array}{rrrr}
0&0&0&-1\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
-1&0&0&0
\end{array}
\right)\nonumber\\
&+\dfrac{a-b}{2}\left(
\begin{array}{rrrr}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
a&0&0&0\\
0&b&c&0\\
0&c&b&0\\
0&0&0&a
\end{array}
\right)=R\nonumber
\end{align}
よって題意は示された。

従って、

\begin{align}
L_n=&R_{0M}=\dfrac{a+b}{2}\sigma^0\otimes\sigma^0_n+\dfrac{c}{2}\sigma^1\otimes\sigma^1_n+\dfrac{c}{2}\sigma^2\otimes\sigma^2_n+\dfrac{a-b}{2}\sigma^3\otimes\sigma^3_n\nonumber\\
=&\dfrac{a+b}{2}\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^0_n&0\\
0&\sigma^0_n
\end{array}
\right)+\dfrac{c}{2}\left(
\begin{array}{cc}
0&\sigma^1_n\\
\sigma^1_n&0
\end{array}
\right)+\dfrac{c}{2}\left(
\begin{array}{cc}
0&-i\sigma^2_n\\
i\sigma^2_n&0
\end{array}
\right)+\dfrac{a-b}{2}\left(
\begin{array}{cc}
\sigma^3_n&0\\
0&-\sigma^3_n
\end{array}
\right)=:\left(
\begin{array}{cc}
\alpha_n&\beta_n\\
\gamma_n&\delta_n
\end{array}
\right)\nonumber
\end{align}

とあらわされる。但し、

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\alpha_n&=&\dfrac{a+b}{2}\sigma^0_n+\dfrac{a-b}{2}\sigma^3_n=\left(
\begin{array}{cc}
a&0\\
0&b
\end{array}
\right)_n\\
&&\\
\beta_n&=&\dfrac{c}{2}(\sigma^1_n-i\sigma^2_n)=c\sigma^-_n\\\
&&\\
\gamma_n&=&\dfrac{c}{2}(\sigma^1_n+i\sigma^2_n)=c\sigma^+_n\\
&&\\
\delta_n&=&\dfrac{a+b}{2}\sigma^0_n-\dfrac{a-b}{2}\sigma^3_n=\left(
\begin{array}{cc}
b&0\\
0&a
\end{array}
\right)_n\\
&&\\
\sigma^+&=&\dfrac{1}{2}(\sigma^1_n+i\sigma^2_n)=\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
0&0
\end{array}
\right)\\
&&\\
\sigma^-&=&\dfrac{1}{2}(\sigma^1_n-i\sigma^2_n)=\left(
\begin{array}{cc}
0&0\\
1&0
\end{array}
\right)
\end{array}
\right.
\end{equation}

とそれぞれ定義されている。また、

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\alpha_n\Omega^+&=&\left(\mathbbm{1}\otimes\cdots\otimes\underbrace{\left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)}_{n番目}\otimes\cdots\otimes\mathbbm{1}\right)\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\otimes\cdots\otimes\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=a\Omega^+
&&\\
\gamma_n\Omega^+&=&0\\
&&\\
\delta_n\Omega^+&=&b\Omega^+
\end{array}
\right.
\end{equation}

となる。従って、

\begin{align}
T=&\left(
\begin{array}{cc}
A&B\\
C&D
\end{array}
\right)=L_M\cdots L_1=\left(\begin{array}{cc}\alpha_M&\beta_M\\\gamma_M&\delta_M\end{array}\right)\cdots\left(\begin{array}{cc}\alpha_1&\beta_1\\\gamma_1&\delta_1\end{array}\right)\nonumber\\
=&\left(\begin{array}{cc}\alpha_M\alpha_{M-1}\cdots\alpha_1+f_A(\{\gamma_n\})&*\\f_C(\{\gamma_n\})&\delta_M\delta_{M-1}\cdots\delta_1+f_D(\{\gamma_n\})\end{array}\right)
\end{align}

となる。$(1,2)$成分の項は今考える必要が無いので$*$としておいた。ここで、$f_i(\{\gamma_n\})~(i=A,C,D)$は$\gamma_n~(n=1,\cdots,M)$を$1$つ以上含んでいるから、$f_i(\{\gamma_n\})\Omega^+=0$と直ちに分かる。従って、次のようにまとめることが出来る。

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
A\Omega^+&=&a^M\Omega^+\\
&&\\
C\Omega^+&=&0\\
&&\\
D\Omega^+&=&b^M\Omega^+
\end{array}
\right.
\end{equation}

よって、

\begin{equation}
\mathcal{T}\Omega^+=(A+D)\Omega^+=(a^M+b^M)\Omega^+
\end{equation}

となる。これは、量子力学におけるスピンの下降演算子に似た役割を果たしているのが$B$であり、$S_z$に似た役割を果たしているのが$A+D$であると考えることが出来る。そのように考えれば、先に導いた$\gamma_n\Omega^+=0$という式は、これ以上スピンを上げることが出来ないという意味に対応している。