$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}
\def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}}$

ステップ2：$B(v_1)B(v_2)\cdots B(v_m)\Omega^+$の$\mathcal{T}(u)$への作用

ところで、量子力学でやったスピン系の場合、Pauli 行列などによる$2\times2$行列を計算するだけで良かった。これに対して、$6$頂点模型の場合は、この計算を遂行することは出来ない。しかし、ここでの本質は計算そのものではなく、演算子同士の関係である。この点を意識しながら議論を進めていこう。ステップ1での議論をまとめると、以下のようになる。

表1 $s=1/2$のスピン系と$6$頂点模型の対応

問題15

$2$つの演算子$H$と$F$が$[H,F]=-2F$を満たすとする。$H$の固有ベクトルを$\vec{\omega}_\lambda$とし、固有値を$\lambda$とする。すなわち、$H\vec{\omega}_\lambda=\lambda\vec{\omega}_\lambda$である。このとき、$F^n\vec{\omega}_\lambda~(n\geq1)$も$H$の固有状態であり、この固有値が$(\lambda-2n)$であること、つまり、$HF^n\vec{\omega}_\lambda=(\lambda-2n)F^n\vec{\omega}_\lambda$であることを示せ。

解答15

与えられた条件より、$[H,F]=-2F\Longleftrightarrow HF=FH-2F$となる。以下、これを用いて、$HF^n\vec{\omega}_\lambda=(\lambda-2n)F^n\vec{\omega}_\lambda$が成り立つことを$n$についての数学的帰納法で示す。

$n=1$のとき、
\[
HF\vec{\omega}_\lambda=(FH-2F)\vec{\omega}_\lambda=(\lambda-2)F\vec{\omega}_\lambda
\]
となるから確かに成り立つ。ある$1$以上の$n$で、
\[
HF^n\vec{\omega}_\lambda=(\lambda-2n)F^n\vec{\omega}_\lambda
\]
が成り立つと仮定すると、$n+1$においても、
\[
HF^{n+1}\vec{\omega}_\lambda=(FH-2F)F^n\vec{\omega}_\lambda=\{F(\lambda-2n)F^n-2F^{n+1}\}\vec{\omega}\lambda=\{\lambda-2(n+1)\}F^{n+1}\vec{\omega}_\lambda
\]
となる。よって題意は示された。

さて、$B(v_1)B(v_2)\cdots B(v_m)\Omega^+$の$\mathcal{T}(u)=A(u)+D(u)$への作用を考えてみよう。

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
A(u)\Psi(v_1,\cdots,v_m)=a^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(v_i-u)}{b(v_i-u)}\Psi(v_1,\cdots,v_m)\nonumber\\
-\sum_{i=1}^m\dfrac{ca^M(v_i)}{b(v_i-u)}\prod_{j=1,j\neq i}^m\dfrac{a(v_j-v_i)}{b(v_j-v_i)}\Psi(v_1,\cdots,\underbrace{u}_{i番目},\cdots,v_m)\tag{11a}\\
D(u)\Psi(v_1,\cdots,v_m)=b^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(u-v_i)}{b(u-v_i)}\Psi(v_1,\cdots,v_m)\nonumber\\
+\sum_{i=1}^m\dfrac{cb^M(v_i)}{b(v_i-u)}\prod_{j=1,j\neq i}^m\dfrac{a(v_i-v_j)}{b(v_i-v_j)}\Psi(v_1,\cdots,\underbrace{u}_{i番目},\cdots,v_m)\tag{11b}
\end{array}
\right.
\end{equation}

(11a)の証明をしよう。(9)を用いて、$m$に関する数学的帰納法で示す。$m=1$の時、(9)を利用するだけで、

\begin{align}
A(u)\Psi(v_1)=A(u)B(v_1)\Omega^+=&\dfrac{a(v_1-u)}{b(v_1-u)}B(v_1)A(u)\Omega^+-\dfrac{c}{b(v_1-u)}B(u)A(v_1)\Omega^+\nonumber\\
=&\dfrac{a(v_1-u)a^M(u)}{b(v_1-u)}\Psi(v_1)-\dfrac{ca^M(v_1)}{b(v_1-u)}\Psi(u)
\end{align}

となる。$m$より小さいときに成立しているとして、

\begin{align}
&A(u)\Psi(v_1,\cdots,v_m)=A(u)B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
\overset{(9)}{=}&\dfrac{a(v_1-u)}{b(v_1-u)}B(v_1)A(u)\Psi(v_2,\cdots,v_m)-\dfrac{c}{b(v_1-u)}B(u)A(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
\overset{帰納法}{=}&\dfrac{a(v_1-u)}{b(v_1-u)}\Biggl\{a^M(u)\prod_{i=2}^m\dfrac{a(v_i-u)}{b(v_i-u)}B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&-\sum_{i=2}\dfrac{ca^M(v_i)}{b(v_i-u)}\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_j-v_i)}{b(v_j-v_i)}B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,\underbrace{u}_{i-1番目},\cdots,v_m)\Biggr\}\nonumber\\
&-\dfrac{c}{b(v_1-u)}\Biggl\{a^M(v_1)\prod_{i=2}^m\dfrac{a(v_i-v_1)}{b(v_i-v_1)}B(u)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&-\sum_{i=2}^m\dfrac{ca^M(v_i)}{b(v_i-v_1)}\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_j-v_i)}{b(v_j-v_i)}B(u)\Psi(v_2,\cdots,\underbrace{v_1}_{i-1番目},\cdots,v_m)\Biggr\}\nonumber\\
=&a^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(v_i-u)}{b(v_i-u)}\Psi(v_1,\cdots,v_m)-\dfrac{ca^M(v_1)}{b(v_1-u)}\prod_{i=2}^m\dfrac{a(v_i-v_1)}{b(v_i-v_1)}\Psi(u,v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&-\sum_{i=2}^m\Biggl\{\dfrac{a(v_1-u)}{b(v_1-u)}\dfrac{c}{b(v_i-u)}-\dfrac{c}{b(v_1-u)}\dfrac{c}{b(v_i-v_1)}\Biggr\}\nonumber\\
&\times a^M(v_i)\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_j-v_i)}{b(v_j-v_i)}\Psi(v_1,\cdots,\underbrace{u}_{i番目},\cdots,v_m)
\end{align}

但し、最後の等式のところで$B$の可換性を用いた。$a$、$b$、$c$の具体形(6)または(7)を代入して計算すると

\begin{equation}
=\dfrac{c}{b(v_i-u)}\dfrac{a(v_1-v_i)}{b(v_1-v_i)}
\end{equation}

となることが分かる。

問題16

Rational な場合について、これを示せ。

解答16

Rational な場合、

\begin{align}
(左辺)=&\dfrac{(v_1-u+\eta)\eta}{(v_1-u)(v_i-u)}+\dfrac{\eta^2}{(v_1-u)(v_1-v_i)}\nonumber\\
=&\dfrac{(v\eta-u\eta+\eta^2)(v_1-v_i)+\eta^2(v_i-u)}{(v_1-u)(v_i-u)(v_1-v_i)}=\dfrac{\eta(v_1-v_i+\eta)}{(v_i-u)(v_1-v_i)}=(右辺)\nonumber
\end{align}

となる。よって題意は示された。

これによって、(11a)が示された。

問題17

(11b)を示せ。

解答17

(9)式の結果

\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
A(u)B(v)&=&\dfrac{a(v-u)}{b(v-u)}B(v)A(u)-\dfrac{c}{b(v-u)}B(u)A(v)\\
&&\\
D(u)B(v)&=&\dfrac{a(u-v)}{b(u-v)}B(v)D(u)+\dfrac{c}{b(v-u)}B(u)D(v)\\
&&\\
B(v)B(u)&=&B(u)B(v)
\end{array}
\right.
\]

を用いて、$m$に関する数学的帰納法で示す。$m=1$の時、(9)を利用するだけで、

\begin{align}
D(u)\Psi(v_1)=D(u)B(v_1)\Omega^+=&\dfrac{a(u-v_1)}{b(u-v_1)}B(v_1)D(u)\Omega^++\dfrac{c}{b(v_1-u)}B(u)D(v_1)\Omega^+\nonumber\\
=&\dfrac{a(u-v_1)b^M(u)}{b(u-v_1)}\Psi(v_1)-\dfrac{cb^M(v_1)}{b(u-v_1)}\Psi(u)
\end{align}

となる。$m$より小さいときに成立しているとして、

\begin{align}
&D(u)\Psi(v_1,\cdots,v_m)=D(u)B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
\overset{(9)}{=}&\dfrac{a(u-v_1)}{b(u-v_1)}B(v_1)D(u)\Psi(v_2,\cdots,v_m)+\dfrac{c}{b(u-v_1)}B(u)D(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
\overset{帰納法}{=}&\dfrac{a(u-v_1)}{b(u-v_1)}\Biggl\{b^M(u)\prod_{i=2}^m\dfrac{a(u-v_i)}{b(u-v_i)}B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&+\sum_{i=2}\dfrac{cb^M(v_i)}{b(v_i-u)}\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_i-v_j)}{b(v_i-v_j)}B(v_1)\Psi(v_2,\cdots,\underbrace{u}_{i-1番目},\cdots,v_m)\Biggr\}\nonumber\\
&+\dfrac{c}{b(v_1-u)}\Biggl\{b^M(v_1)\prod_{i=2}^m\dfrac{a(v_1-v_i)}{b(v_1-v_i)}B(u)\Psi(v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&+\sum_{i=2}^m\dfrac{cb^M(v_i)}{b(v_i-v_1)}\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_i-v_j)}{b(v_i-v_j)}B(u)\Psi(v_2,\cdots,\underbrace{v_1}_{i-1番目},\cdots,v_m)\Biggr\}\nonumber\\
=&b^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(u-v_i)}{b(u-v_i)}\Psi(v_1,\cdots,v_m)+\dfrac{cb^M(v_1)}{b(v_1-u)}\prod_{i=2}^m\dfrac{a(v_1-v_i)}{b(v_1-v_i)}\Psi(u,v_2,\cdots,v_m)\nonumber\\
&+\sum_{i=2}^m\Biggl\{\dfrac{a(u-v_1)}{b(u-v_1)}\dfrac{c}{b(v_i-u)}+\dfrac{c}{b(v_1-u)}\dfrac{c}{b(v_i-v_1)}\Biggr\}\nonumber\\
&\times b^M(v_i)\prod_{j=2,j\neq i}^m\dfrac{a(v_i-v_j)}{b(v_i-v_j)}\Psi(v_1,\cdots,\underbrace{u}_{i番目},\cdots,v_m)
\end{align}

但し、最後の等式のところで$B$の可換性を用いた。$a$、$b$、$c$の具体形として特に(6)を代入して計算すると、

\begin{align}
&\dfrac{a(u-v_1)}{b(u-v_1)}\dfrac{c}{b(v_i-u)}+\dfrac{c}{b(v_1-u)}\dfrac{c}{b(v_i-v_1)}\nonumber\\
=&\dfrac{(u-v_1+\eta)\eta(v_i-v_1)+\eta^2(v_i-u)}{(u-v_1)(v_i-u)(v_1-v_i)}=\dfrac{c}{b(v_i-u)}\dfrac{a(v_i-v_1)}{b(v_i-v_1)}
\end{align}

となることが分かる。よって題意は示された。

ステップ3：固有値問題

(11a)、(11b)より、$\Psi(v_1,\cdots,v_m)$が$A+D$の固有ベクトルになるためには、

\begin{equation}
((11a)と(11b)の右辺の和)=0
\end{equation}

となれば良い。この条件は、

\begin{equation}
\left(\dfrac{a(v_i)}{b(v_i)}\right)^M=\prod_{j=1,j\neq i}^m\dfrac{-a(v_i-v_j)}{a(v_j-v_i)}　、　i=1,\cdots,m\tag{BAE}
\end{equation}

と書かれる。これをBethe 仮説方程式（Bethe Ansatz Equation）という。但し、途中で$a(v)=\sin{(v+\eta)}$及び$b(v)=\sin{(v)}=-b(-v)$という関係式を用いた。

まとめ

$a$、$b$、$c$を

\begin{equation}
(a,b,c)=(\sin{(u+\eta)},\sin{u},\sin{\eta})
\end{equation}

または

\begin{equation}
(a,b,c)=(u+\eta,u,\eta)
\end{equation}

とする。$v_1,\cdots,v_m\in\mathbb{C}$がBethe 仮説方程式(BAE)を満たすとき、$\Psi(v_1,\cdots,v_m)=B(v_1)B(v_2)\cdots B(v_m)\Omega^+$は$\mathcal{T}(u)$の固有ベクトルであり、その固有値は

\begin{equation}
t(u)\coloneqq a^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(v_i-u)}{b(v_i-u)}+b^M(u)\prod_{i=1}^m\dfrac{a(u-v_i)}{b(u-v_i)}
\end{equation}

で与えられる。

このBethe 仮説方程式で得られた固有ベクトルは考えている固有値問題の固有ベクトルを与えているのかという疑問が残る。実は、これはBethe 仮説の完全性問題と呼ばれる未解決の問題である。従って、ここでは以下のことを予想とする。

$6$頂点模型の転送行列$\mathcal{T}(u)$の全ての固有値と固有ベクトルは$t(u)$と$\Psi(v_1,\cdots,v_m)~(m=0,\cdots,M)$で与えられる。