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$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$

量子統計力学

量子統計の説明

量子統計の背景

量子統計は、粒子が量子力学に従う場合の統計的挙動を記述する理論である。特に、ボース粒子とフェルミ粒子という2種類の粒子の区別が重要である。これらの粒子は、それぞれボース＝アインシュタイン統計とフェルミ＝ディラック統計に従う。

古典統計力学では、粒子を区別可能であり、ボルツマン分布に従うと仮定する。しかし、量子統計では、粒子が区別不可能である点が重要であり、これが統計の形式に影響を与える。

ボース粒子とフェルミ粒子

ボース粒子は全てのボース粒子は整数スピンを持ち、同じ量子状態に複数の粒子が存在することが可能である（例: 光子やヘリウム-4）。
一方で、フェルミ粒子は半整数スピンを持ち、同じ量子状態に2つ以上の粒子が存在することが禁止される（パウリの排他原理）（例: 電子や陽子）。

この性質により、ボース粒子は「凝縮」現象を示し、フェルミ粒子は「縮退圧」を生む。

統計分布の導出

量子統計では、エネルギー準位に対する占有数の分布が重要である。単位体積あたりの状態密度を$g(\epsilon)$、エネルギー準位を$\epsilon$、粒子数を$N$、温度を$T$とすると、ボース＝アインシュタイン分布とフェルミ＝ディラック分布は以下のように記述される。

ボース＝アインシュタイン分布

ボース粒子の分布関数は次式で与えられる：
$$n(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon – \mu) / k_B T} – 1},$$
ここで、$\mu$は化学ポテンシャル、$k_B$はボルツマン定数である。

フェルミ＝ディラック分布

フェルミ粒子の場合、分布関数は次式で表される：
$$n(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon – \mu) / k_B T} + 1}.$$

これらの分布は、低温極限や高温極限で古典的なボルツマン分布に収束することが確認できる。

ボース＝アインシュタイン凝縮

非常に低温で、化学ポテンシャルがエネルギーの最低準位に近づくと、粒子が基底状態に「凝縮」する現象が観測される。これは、ボース粒子の特徴的な性質であり、レーザーや超流動ヘリウムの研究に応用されている。

フェルミ縮退

フェルミ粒子では、高密度または低温で縮退が起こり、フェルミエネルギー以下の状態がすべて占有される。この現象は金属中の自由電子や白色矮星の構造を説明する際に重要である。

平均エネルギーの計算

量子統計では、系の平均エネルギー$\langle E \rangle$を分布関数を用いて計算する：
$$\langle E \rangle = \int_0^\infty \epsilon \cdot n(\epsilon) \cdot g(\epsilon) \, d\epsilon.$$

ボース粒子の場合、ボース粒子の状態密度は一般に
$$g(\epsilon) = \frac{8\pi V}{h^3} \sqrt{2m} \cdot \epsilon^{1/2}$$
で与えられる。この状態密度を用いて積分を行うと、特定の温度条件下でのエネルギーや比熱が求められる。

フェルミ粒子の場合、フェルミ粒子の平均エネルギーは、特に低温極限でフェルミエネルギー$E_F$の周辺での状態が重要となる。この場合、フェルミ分布を展開して近似解を得る。

高温極限と古典極限

量子統計は、高温または低密度の極限で古典的なボルツマン分布に収束する。これは、分布関数が以下の形になることから確認できる：
$$n(\epsilon) \approx e^{-\epsilon / k_B T}.$$

この極限で、ボース粒子とフェルミ粒子の違いは消失する。

まとめ