$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

古典力学01

ニュートン力学

ニュートンの運動の3法則は以下のように要約される。

第1法則（慣性の法則）：力が働かなければ物体は静止または直線上の一様運動を続ける。
第2法則（運動の法則）：物体の運動の時間変化は物体に働く力に比例し、その力の方向に変化が生ずる。
第3法則（作用・反作用の法則）：2つの物体が相互作用するとき、物体ごとに逆向き同じ大きさの力が働く。

運動の法則によると、質量$m$の物体に力$\bm{F}$が働くと加速度が生じる。すなわち、速度$\bm{v}$に変化が生じる。これは運動方程式、

\begin{equation}
\dfrac{d \bm{v}}{d t}=\bm{a}=\dfrac{\bm{F}}{m}
\end{equation}

であらわされる。この運動方程式を解くことが古典力学の主要な問題となる。

運動学

極座標系

前述の通り、古典力学では運動方程式を解くことが問題になることが殆どである。問題に応じて運動方程式が解きやすい座標系を採ることが重要である。デカルト座標以外の座標系を採ることで問題が簡単になることがある。例えば、$2$次元極座標を用いると、速度ベクトルと加速度ベクトルは以下で書ける。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\bm{v}&=&\dot{r}\bm{e}_r+r\dot{\theta}\bm{e}_\theta\\
\bm{a}&=&(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\bm{e}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\bm{e}_\theta
\end{array}
\right.
\end{equation}

放物運動

一般に、$y$軸正の方向に等加速度$a$で運動しているときの振る舞いは以下であらわされる（傾角$\theta=\frac{\pi}{4}$の斜方投射における最高点$y_{\text{max}}$は投射点から落下点までの距離の$\frac{1}{4}$である。投射点・最高点・落下点を結んだ三角形が直角二等辺三角形になっていると勘違いしないように。）。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
x(t)&=&x_0+v_{0x}t\\
y(t)&=&y_0+v_{0y}t+\dfrac{1}{2}at^2
\end{array}
\right.
\end{equation}
また、等加速度で運動している方向のみに着目すると、始状態$\text{i}$と終状態$\text{f}$の間に以下の関係が成り立つ。
\begin{equation}
v_{\text{f}}^2-v_{\text{i}}^2=2a(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})
\end{equation}

円運動

特に物体が角速度$\omega$で等速円運動をしているとき、$\dot{r}=0$かつ$\dot{\theta}=\omega$なので$2$次元極座標で運動をあらわすと以下のように書くことができる。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{rcl}
v&=&r\omega\\
a&=&r\omega^2=\dfrac{v^2}{r}\\
F&=&m\dfrac{v^2}{r}=mr\omega^2
\end{array}
\right.
\end{equation}
非慣性系では見かけの力がはたらく。遠心力とコリオリの力は以下のようにあらわせる。
\begin{equation}
\bm{F}_{\text{centrifugal}}=-mr\omega^2\bm{e}_r
\end{equation}
\begin{equation}
\bm{F}_{\text{Coriolis}}=2m\bm{v}\times\bm{\omega}
\end{equation}
遠心力が極座標の動径方向の単位ベクトルを用いて書かれているのに対して、コリオリの力の向きはデカルト座標における速度ベクトルと角速度ベクトルの外積で書かれていることに注意が必要である。