$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

古典力学07

中心力問題

ここでは特に中心力のみが働いている場合を考える。一般に、中心力問題の解の軌道は平面上であらわすことができるため、$2$次元極座標を用いて以下のようにラグランジアンを書き下すことができる。
\begin{equation}
L=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+\dfrac{1}{2}mr^2\dot{\phi}^2-U(r)
\end{equation}
このとき、対称性より以下の量が保存する。
\begin{equation}
l=mr^2\dot{\phi}
\end{equation}
これは角運動量保存則をあらわしている。ケプラー問題の場合はケプラーの第$2$法則に対応している。これを用いてラグランジアンから$\dot{\theta}$を消去する。すなわち、ラグランジアンを以下で定義される有効ポテンシャル$U_{\text{eff}}(r)$と動径方向の運動エネルギーに分離する。
\begin{equation}
U_{\text{eff}}(r)=\dfrac{l^2}{2mr^2}+U(r)
\end{equation}
これらを用いてオイラー・ラグランジュ方程式を書き下し、それを$r$に関する常微分方程式として解けば問題が解決する。

中心力問題を考える場合、ベルトランの定理が役に立つことがある。ベルトランの定理に依れば、古典力学において任意の有界な軌道が安定な閉曲線を描くような中心力場$F(r)\sim r^{n}$は$n=-2,1$の場合に限られる。

ケプラー問題の場合：$F(r)\sim r^{-2}$

ケプラー問題の場合はケプラーの第$1$法則と第$3$法則を導出することができる。

ここでは$2$体問題を$1$体問題に帰着して議論しているが、これは換算質量、
\begin{equation}
\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}
\end{equation}
を用いて$2$質点系の運動を重心運動と相対運動に分離することが可能であるということに由来している。

オイラー・ラグランジュ方程式から得られる解の軌道を分類する際には、力学的エネルギー、
\begin{equation}
E=T+U=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^2+U_{\text{eff}}(r)
\end{equation}
を考える。$E>0$が双曲線軌道、$E=0$が放物線軌道、$E<0$が楕円軌道となる。