$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}$
$\def\rmd#1{\mathrm{d}{#1}}$
$\def\Braket#1{\langle{#1}\rangle}$
$\def\Bra#1{\langle{#1}|}$
$\def\Ket#1{|{#1}\rangle}$
$\def\kb{k_{\text{B}}}$
$\def\dag{\dagger}$

弦理論入門02

点粒子から弦へ

標的時空の$D$次元ポアンカレ変換

　
前回議論した作用は、ポアンカレ変換
\begin{equation}
X^M\mapsto X’^{M}=\Lambda^M_NX^N+a^M~\mathrm{and}~\delta h^{\alpha\beta}=0\label{eq:4.4}
\end{equation}
の下で不変である。但し、$\Lambda^M_N$と$a^M$はそれぞれ$D$次元標的時空のローレンツ変換と時空の並進である。

世界面のパラメーター付け替え

作用は$\sigma^\alpha\mapsto\sigma’^\alpha=f^\alpha(\sigma)$で与えられるような世界面のパラメーター付け替えの下で不変である。特に、$X^M(\tau,\sigma)$と$h_{\alpha\beta}(\tau,\sigma)$は次のように変換する。

\begin{equation}
h_{\alpha\beta}(\tau,\sigma)=\dfrac{\partial f^\gamma}{\partial\sigma^\alpha}\dfrac{\partial f^\delta}{\partial\sigma^\beta}h_{\gamma\delta}(\tau’,\sigma’)~\mathrm{and}~X’^M(\tau’,\sigma’)=X^M(\tau,\sigma)\label{eq:4.5}
\end{equation}

ワイル変換

　
作用は以下で与えられるようなワイル変換の下で不変である（ワイル対称性を用いると、共形ゲージで固定されなかった$h_{\alpha\beta}$の残された自由度をを消すことが出来る。もし、この自由度が残ったままだと、その理論は$X^M$によって張られる空間中を運動する弦であるという解釈が出来なくなってしまう。従って、ワイル対称性は弦理論において必要不可欠な対称性である。

ここでの議論は古典的な作用のワイル不変性であるが、一般に量子化によってワイル対称性は破れてしまうことが知られており、ある系を量子化したときにワイル対称性が残っているかどうかは自明ではない。この問題はワイルアノマリーとして知られていて、弦理論がwell-defined であるためにはワイルアノマリーが消えることが必要であると考えられている。）。

\begin{equation}
h_{\alpha\beta}\mapsto\mathrm{e}^{2\omega(\tau,\sigma)}h_{\alpha\beta}~\mathrm{and}~X’^M(\tau,\sigma)=X^M(\tau,\sigma)\label{eq:4.6}
\end{equation}

話をもとに戻そう。局所的な対称性は、世界面計量が対角的になるような便利なゲージを採ることが出来る。以後、我々は共形ゲージ、

\begin{equation}
h_{\alpha\beta}=\mathrm{e}^{2\omega(\tau,\sigma)}\eta_{\alpha\beta}~\mathrm{with}~\eta=\left(
\begin{array}{rr}
-1&0\\
0&1
\end{array}
\right)
\label{eq:4.7}
\end{equation}

を採る。このゲージにおいては、ポリヤコフ作用$\mathcal{S}_{\mathrm{P}}$は

\begin{equation}
\mathcal{S}_{\mathrm{P}}=\dfrac{1}{4\pi\alpha’}\int d^2\sigma~\left(\partial_\tau X^M\partial_\tau X^N-\partial_\sigma X^M\partial_\sigma X^N\right)\eta_{MN}\label{eq:4.8}
\end{equation}

となる。また、$X^M(\tau,\sigma)$についての運動方程式は相対論的波動方程式の形、

\begin{equation}
(\partial_\tau^2-\partial_\sigma^2)X^M=\partial_+\partial_-X^M=0\label{eq:4.9}
\end{equation}

で与えられる。但し、光円錐座標$\sigma^\pm=\tau\pm\sigma$とそれに対応した微分$\partial_\pm=\partial/\partial\sigma^\pm$を導入した。運動方程式には境界条件

\begin{equation}
\partial_\sigma X^M\delta X_M\biggr|^{\sigma_0}_0=0\label{eq:4.10}
\end{equation}

が加えられる。更に、ヴィラソロ拘束条件を付加的に課す必要がある。例えば、閉弦の解として角速度$\omega$で定常的な回転運動をするような半径$R$の円形の閉弦をあらわす解、
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
X^0&=&\tau/\omega\\
X^1&=&R\cos{(\sigma+\tau)}\\
X^2&=&R\sin{(\sigma+\tau)}\\
X^i&=&0　(i=3,\cdots,D-1)
\end{array}
\right.
\]
が考えられる。これはポリヤコフ作用から得られる運動方程式
\[
\partial_+\partial_-X^M=0
\]
を満たすが、南部・後藤作用から得られる運動方程式
\[
\partial_\alpha\left(\sqrt{-\mathrm{det}G_{\alpha\beta}}G^{\alpha\beta}\partial_\beta X^M\right)=0
\]
は満たさない。この原因は簡単で、ポリヤコフ作用と南部・後藤作用が等価になるのは、固有計量$h_{\alpha\beta}$についてのヴィラソロ拘束条件$T_{\alpha\beta}=0$を満たす場合のみであることに因っている。一般に、ゲージ対称性を有する系においてゲージ固定を施すと作用の中から一部の自由度が失われるから、ゲージ固定後の作用の中に含まれる場だけを用いて運動方程式を求めても、ゲージ固定される前の作用から導かれる全ての運動方程式を再現することは出来ない。それ故に、失われた自由度に対応する運動方程式を補助的な拘束条件として手で課す必要がある。ここではヴィラソロ拘束条件がそれに対応している。さて、これは、共形ゲージでは、

\begin{equation}
T_{++}=\partial_+X^M\partial_+X_M=0　、　T_{–}=\partial_-X^M\partial_-X_M=0　、　T_{+-}=T_{-+}=0\label{eq:4.11}
\end{equation}

となる。