$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}$

波動関数の意味

量子力学の中心的な役割を果たすのがシュレーディンガー方程式と波動関数です。今回は、シュレーディンガー方程式の導入、ボルンの確率解釈、そして確率の流れの保存について、数式を交えながら詳しく解説します。

シュレーディンガー方程式の復習

これまで何度も見てきたように、シュレーディンガー方程式は、量子力学における粒子の状態を記述する基本的な方程式です。以下に時間依存のシュレーディンガー方程式を示します：

\begin{equation}
i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t)
\end{equation}

ここで、$\psi(\mathbf{r}, t)$は粒子の空間的位置 $\mathbf{r}$ と時間 $t$ に依存する波動関数、$i$は虚数単位、$\hbar$は換算プランク定数（$\hbar = h / 2\pi$）、$\hat{H}$は粒子の全エネルギーを記述するハミルトン演算子です。

ハミルトニアン演算子は、典型的には運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和として表されます：

\begin{equation}
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)
\end{equation}

ここで、$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$は運動エネルギー項、$V(\mathbf{r}, t)$はポテンシャルエネルギー項、$m$：粒子の質量です。

シュレーディンガー方程式は、波動関数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ について解くことで、量子系の時間発展を記述します。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解法

時間に依存するシュレーディンガー方程式は、特にポテンシャル $V(\mathbf{r}, t)$ が時間に依存しない場合に、波動関数を以下の形で分離することができます。

\begin{equation}
\psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-iE t / \hbar}
\end{equation}

このとき、$\phi(\mathbf{r})$ は時間独立の波動関数を満たします。

\begin{equation}
\hat{H}\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r})
\end{equation}

これは時間に依存しないシュレーディンガー方程式と呼ばれます。$E$ は粒子のエネルギー固有値を表します。

ボルンの確率解釈

波動関数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ の物理的意味は、マックス・ボルンによって確率解釈が与えられました。$|\psi(\mathbf{r}, t)|^2$ は、粒子が時刻 $t$ に位置 $\mathbf{r}$ に存在する確率密度を表します。

\begin{equation}
P(\mathbf{r}, t) = |\psi(\mathbf{r}, t)|^2
\end{equation}

この解釈に基づき、波動関数の規格化条件が要求されます。すなわち、粒子が空間のどこかに存在する確率は必ず1でなければなりません。

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 d^3\mathbf{r} = 1
\end{equation}

この規格化条件は、波動関数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ の解の選択において重要な制約を与えます。

確率の流れの保存

シュレーディンガー方程式は、確率の流れの保存を自然に導きます。確率密度 $P(\mathbf{r}, t)$ と確率流密度 $\mathbf{j}(\mathbf{r}, t)$ を用いて、以下の連続の方程式が成り立ちます。

\begin{equation}
\frac{\partial P(\mathbf{r}, t)}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = 0
\end{equation}

ここで、確率流密度 $\mathbf{j}(\mathbf{r}, t)$ は次のように定義されます。

\begin{equation}
\mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi – \psi \nabla \psi^* \right)
\end{equation}

この式は、波動関数の時間変化と空間変化の間の調和的な関係を示します。連続の方程式は、確率密度 $P(\mathbf{r}, t)$ が時間に伴って変化する際に、その変化が確率流密度 $\mathbf{j}(\mathbf{r}, t)$ によって記述されることを示しています。

連続の方程式の物理的意味は、確率が空間のどこにも漏れ出すことがない、すなわち確率が保存されることを保証するものです。

今回のまとめ

シュレーディンガー方程式は、量子力学において粒子の振る舞いを記述する基本的な方程式です。その解である波動関数 $\psi(\mathbf{r}, t)$ は、ボルンの確率解釈により物理的意味を持ち、粒子の位置や時間における確率密度を与えます。さらに、確率流密度を含む連続の方程式は、量子系における確率の保存を保証します。