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球座標の勾配・発散・回転・ラプラシアン

量子力学では、系の対称性から球座標を使うと計算が楽になることが多いです。ここでは、このあとの計算の準備として、球座標系 \((r, \theta, \phi)\) における勾配、発散、回転、ラプラシアンの導出を以下に示します。

球座標系の定義

球座標系の座標とデカルト座標系との関係は次の通りです。
\begin{equation}
x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta.
\end{equation}
逆変換は以下のようになります。
\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right), \quad \phi = \arctan2(y, x).
\end{equation}

スケールファクターは以下のように定義されます。
\begin{equation}
h_r = 1, \quad h_\theta = r, \quad h_\phi = r \sin\theta.
\end{equation}

勾配（Gradient）

スカラー場 \(f(r, \theta, \phi)\) に対する勾配は次のように定義されます。
\begin{equation}
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \hat{e}_\theta + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{e}_\phi.
\end{equation}

発散（Divergence）

ベクトル場 \(\mathbf{A} = A_r\hat{e}_r + A_\theta\hat{e}_\theta + A_\phi\hat{e}_\phi\) に対する発散は次のように定義されます。
\begin{equation}
\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2 \sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \sin\theta A_r\right) + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(r \sin\theta A_\theta\right) + \frac{\partial}{\partial \phi}\left(r A_\phi\right) \right].
\end{equation}
これを展開すると次のようになります。
\begin{equation}
\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta A_\theta\right) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}.
\end{equation}

回転（Curl）

ベクトル場 \(\mathbf{A} = A_r\hat{e}_r + A_\theta\hat{e}_\theta + A_\phi\hat{e}_\phi\) に対する回転は次のように定義されます。
\begin{equation}
\nabla \times \mathbf{A} = \frac{1}{r^2 \sin\theta}
\begin{vmatrix}
\hat{e}_r & r \hat{e}_\theta & r \sin\theta \hat{e}_\phi \\
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\
A_r & r A_\theta & r \sin\theta A_\phi
\end{vmatrix}.
\end{equation}
これを展開すると各成分は以下のようになります。
\begin{equation}
(\nabla \times \mathbf{A})_r = \frac{1}{r \sin\theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta}(A_\phi \sin\theta) – \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right],
\end{equation}
\begin{equation}
(\nabla \times \mathbf{A})_\theta = \frac{1}{r} \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} – \frac{\partial}{\partial r}(r A_\phi) \right],
\end{equation}
\begin{equation}
(\nabla \times \mathbf{A})_\phi = \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta) – \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \right].
\end{equation}

ラプラシアン（Laplacian）

スカラー場 \(f(r, \theta, \phi)\) のラプラシアンは次のように定義されます。
\begin{equation}
\nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}.
\end{equation}

球座標のラプラシアンはいつ使うか

球座標のラプラシアンは、量子力学における角運動量、波動関数の分離変数法、エネルギー固有値の計算において不可欠です。

特に、水素原子の問題や3次元の調和振動子の問題、そして散乱問題などで重要な役割を果たします。