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光の偏光の量子論

光の偏光は、電磁波としての光が持つ基本的な特性であり、量子論と場の観点から深く理解することで、現代物理学の重要な理論的枠組みを学ぶことができます。今回は、マクスウェル方程式の復習から始め、偏光の量子論的記述、場の量子化へと進みます。

マクスウェル方程式の復習

光は電磁波であり、電場\(\mathbf{E}\)と磁場\(\mathbf{B}\)が空間を伝播する現象です。この現象を記述するマクスウェル方程式は次の通りです。

ガウスの法則（電場）
\[
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]

ガウスの法則（磁場）
\[
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\]

ファラデーの法則（電磁誘導）
\[
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\]

アンペール-マクスウェルの法則
\[
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\]

ここで、\(\rho\)は電荷密度、\(\mathbf{J}\)は電流密度、\(\varepsilon_0\)は真空の誘電率、\(\mu_0\)は真空の透磁率を表します。

電磁波の波動方程式

マクスウェル方程式を連立して解くと、電場と磁場は波動方程式を満たすことがわかります。
\[
\nabla^2 \mathbf{E} – \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0, \quad \nabla^2 \mathbf{B} – \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0.
\]

波動方程式の解は平面波として表現されます。
\[
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} – \omega t)}, \quad \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{B}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} – \omega t)}.
\]
ここで、\(\mathbf{k}\)は波数ベクトル、\(\omega\)は角周波数です。

偏光の古典的記述

偏光は、電場ベクトル\(\mathbf{E}\)の振動方向の特徴によって分類されます。平面波の電場ベクトルは次のように書けます。
\[
\mathbf{E}(t) = E_x \hat{\mathbf{x}} + E_y \hat{\mathbf{y}} = E_{0x} \cos(\omega t) \hat{\mathbf{x}} + E_{0y} \cos(\omega t + \delta) \hat{\mathbf{y}},
\]
ここで、\(\delta\)は位相差です。

線偏光

\(\delta = 0\)または\(\pi\)の場合、電場ベクトルは直線的に振動します。この場合、電場の軌跡は一直線になります。

円偏光

\(\delta = \pm\frac{\pi}{2}\)で、かつ\(E_{0x} = E_{0y}\)の場合、電場ベクトルは時間とともに円を描きます。円偏光は右回り（右円偏光）または左回り（左円偏光）に分類されます。

楕円偏光

一般的な場合、電場ベクトルは楕円を描きます。線偏光と円偏光は楕円偏光の特殊ケースです。

偏光の量子論的記述

光を量子論的に記述するには、光を光子として扱います。光子はエネルギー\(E = \hbar \omega\)と運動量\(\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\)を持つ粒子として記述されます。

光子の偏光状態

偏光は光子のスピン角運動量として量子化されます。スピンの\(z\)軸方向に沿った固有状態は次のように表されます。
右円偏光：\(|R\rangle\)
左円偏光：\(|L\rangle\)

線偏光はこれらの固有状態の線形結合として記述できます。
\[
|H\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|R\rangle + |L\rangle), \quad |V\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|R\rangle – |L\rangle).
\]

偏光の密度行列

偏光状態の混合状態を記述するには密度行列を用います。純粋状態\(|\psi\rangle\)の場合、密度行列は\(\rho = |\psi\rangle \langle \psi|\)で与えられます。

混合状態の場合、密度行列は
\[
\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|
\]
として表されます。

場の量子化

場の量子化では、電場と磁場を調和振動子として扱います。ここでは電場の場の量子化について説明します。

電場演算子

場の量子化では、電場は生成演算子\(\hat{a}^\dagger\)と消滅演算子\(\hat{a}\)を用いて表されます。
\[
\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t) = i \sqrt{\frac{\hbar \omega}{2\varepsilon_0 V}} \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \hat{a}_{\mathbf{k}, \lambda} \mathbf{e}_{\mathbf{k}, \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} – \omega t)} + \text{h.c.},
\]
ここで、\(\mathbf{e}_{\mathbf{k}, \lambda}\)は偏光ベクトル、\(V\)は正規化体積、\(\text{h.c.}\)はエルミート共役を表します。

光子の生成と消滅

生成演算子\(\hat{a}^\dagger\)は光子を生成し、消滅演算子\(\hat{a}\)は光子を消滅させます。これらは交換関係を満たします。
\[
[\hat{a}_{\mathbf{k}, \lambda}, \hat{a}_{\mathbf{k}’, \lambda’}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k}, \mathbf{k}’} \delta_{\lambda, \lambda’}.
\]

今回のまとめ

光の偏光を古典的および量子論的に記述し、場の量子化へと進みました。偏光の量子論的理解は、光学や量子情報技術における応用において重要です。次章では、偏光を用いた具体的な量子光学現象や実験技術について解説します。