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生成・消滅演算子

量子力学において、調和振動子は基礎的で重要な問題の一つです。この問題は、生成演算子と消滅演算子を用いる代数的手法によって簡潔に解くことができます。今回は、調和振動子の束縛状態問題を代数的方法で解く手順を、数式とともにわかりやすく説明します。

調和振動子のハミルトニアン

1次元調和振動子のハミルトニアンは以下のように与えられます。
\[
\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2,
\]
ここで、$\hat{x}$ は位置演算子、$\hat{p}$ は運動量演算子、$m$ は質量、$\omega$ は角振動数です。

運動量と位置演算子は以下の交換関係を満たします。
\[
[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar.
\]

生成演算子と消滅演算子

ハミルトニアンを簡潔な形にするため、生成演算子 $\hat{a}^\dagger$ と消滅演算子 $\hat{a}$ を導入します。これらは次のように定義されます。
\[
\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x} + \frac{i}{m\omega} \hat{p} \right),
\quad
\hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( \hat{x} – \frac{i}{m\omega} \hat{p} \right).
\]

これらを用いると、位置と運動量演算子は次のように書き換えられます。
\[
\hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (\hat{a} + \hat{a}^\dagger),
\quad
\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}} (\hat{a}^\dagger – \hat{a}).
\]

生成・消滅演算子は次の交換関係を満たします。
\[
[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1.
\]

ハミルトニアンの再構成

生成・消滅演算子を用いると、ハミルトニアンは次のように書き換えられます。
\[
\hat{H} = \hbar\omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right).
\]
ここで、$\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$ を数演算子と呼びます。$\hat{N}$ の固有値は振動子の量子数 $n$ に対応します。

固有状態と固有値の導出

調和振動子の固有状態 $|n\rangle$ は数演算子の固有状態であり、次の固有方程式を満たします。
\[
\hat{N}|n\rangle = n|n\rangle,
\]
ここで、$n$ は非負整数です。

また、ハミルトニアンの固有値は次のようになります。
\[
E_n = \hbar\omega \left( n + \frac{1}{2} \right).
\]
これにより、エネルギー固有値が等間隔であることがわかります。

生成・消滅演算子による状態の操作

生成演算子と消滅演算子は、それぞれ状態 $|n\rangle$ を上昇または下降させる役割を果たします。
\[
\hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle,
\quad
\hat{a} |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle.
\]

基底状態 $|0\rangle$ は次の条件を満たします。
\[
\hat{a}|0\rangle = 0.
\]
基底状態から出発して生成演算子を繰り返し作用させることで、高次の固有状態を構築できます。
\[
|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle.
\]

波動関数の導出

位置表現において、基底状態の波動関数 $\psi_0(x)$ は以下のシュレディンガー方程式を満たします。
\[
\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right) \psi_0(x) = \frac{1}{2}\hbar\omega \psi_0(x).
\]
これを解くと、基底状態の波動関数はガウス関数となります。
\[
\psi_0(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \exp\left( -\frac{m\omega}{2\hbar}x^2 \right).
\]

高次状態の波動関数はエルミート多項式を用いて表されます。
\[
\psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right) \exp\left( -\frac{m\omega}{2\hbar}x^2 \right).
\]
ここで、$H_n(x)$ はエルミート多項式です。

今回のまとめ

生成演算子と消滅演算子を用いる代数的方法により、調和振動子のエネルギー固有値と固有状態を効率的に求めることができました。この手法は、他の量子力学的問題にも応用される強力な手法です。