$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\car}{\mathcal{R}} \newcommand{\bcar}{\bm{\mathcal{R}}} \newcommand{\hcar}{\bm{\hat{\mathcal{R}}}} \newcommand{\hbx}{\bm{\hat{x}}} \newcommand{\hby}{\bm{\hat{y}}} \newcommand{\hbz}{\bm{\hat{z}}} \newcommand{\hbr}{\bm{\hat{r}}} \newcommand{\hbtheta}{\bm{\hat{\theta}}} \newcommand{\hbphi}{\bm{\hat{\phi}}} \newcommand{\hbs}{\bm{\hat{s}}} \newcommand{\bmsa}{\bm{a}} \newcommand{\bmsb}{\bm{b}} \newcommand{\bmsc}{\bm{c}} \newcommand{\bmsd}{\bm{d}} \newcommand{\bmse}{\bm{e}} \newcommand{\bmsf}{\bm{f}} \newcommand{\bmsg}{\bm{g}} \newcommand{\bmsh}{\bm{h}} \newcommand{\bmsi}{\bm{i}} \newcommand{\bmsj}{\bm{j}} \newcommand{\bmsk}{\bm{k}} \newcommand{\bmsl}{\bm{l}} \newcommand{\bmsm}{\bm{m}} \newcommand{\bmsn}{\bm{n}} \newcommand{\bmso}{\bm{o}} \newcommand{\bmsp}{\bm{p}} \newcommand{\bmsq}{\bm{q}} \newcommand{\bmsr}{\bm{r}} \newcommand{\bmss}{\bm{s}} \newcommand{\bmst}{\bm{t}} \newcommand{\bmsu}{\bm{u}} \newcommand{\bmsv}{\bm{v}} \newcommand{\bmsw}{\bm{w}} \newcommand{\bmsx}{\bm{x}} \newcommand{\bmsy}{\bm{y}} \newcommand{\bmsz}{\bm{z}} \newcommand{\bma}{\bm{A}} \newcommand{\bmb}{\bm{B}} \newcommand{\bmc}{\bm{C}} \newcommand{\bmd}{\bm{D}} \newcommand{\bme}{\bm{E}} \newcommand{\bmf}{\bm{F}} \newcommand{\bmg}{\bm{G}} \newcommand{\bmh}{\bm{H}} \newcommand{\bmi}{\bm{I}} \newcommand{\bmj}{\bm{J}} \newcommand{\bmk}{\bm{K}} \newcommand{\bml}{\bm{L}} \newcommand{\bmm}{\bm{M}} \newcommand{\bmn}{\bm{N}} \newcommand{\bmo}{\bm{O}} \newcommand{\bmp}{\bm{P}} \newcommand{\bmq}{\bm{Q}} \newcommand{\bmr}{\bm{R}} \newcommand{\bms}{\bm{S}} \newcommand{\bmt}{\bm{T}} \newcommand{\bmu}{\bm{U}} \newcommand{\bmv}{\bm{V}} \newcommand{\bmw}{\bm{W}} \newcommand{\bmx}{\bm{X}} \newcommand{\bmy}{\bm{Y}} \newcommand{\bmz}{\bm{Z}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}}$

前回はDirac 方程式の解説について扱いましたが、今回は熱力学の問題演習として、熱機関の問題を取り上げます。

具体的にはOtto サイクルとStirling サイクルの問題となっています。
式変形はこれまでの問題よりも簡単ですが、物理的な理解は難しいところがあるため、1行1行落ち着いて行間を追っていきましょう。

問題

[問題1]
断熱過程と等積過程で構成されるOtto エンジン（ガソリンエンジンのモデルと考えられている）、
$$\begin{align} (P_1,V_1,T_1)&\rightarrow(P_2,V_2,T_2)(V_1<V_2)\\ (P_2,V_2,T_2)&\rightarrow(P_3,V_2,T_3)(P_2>P_3)\\ (P_3,V_2,T_3)&\rightarrow(P_4,V_1,T_4)(V_1<V_2)\\ (P_4,V_1,T_4)&\rightarrow(P_1,V_1,T_1)(P_4<P_1) \end{align}$$
について効率を求め、Carnot エンジンの効率との大小を論ぜよ。各過程は順番に断熱膨張、等積減圧、断熱圧縮、等積加圧である。なお、用いる気体は理想気体と考えて良い。

Otto サイクル

[問題2]
Otto エンジンのサイクルで、温度$T_2$から$T_3$に至る等積・減圧の過程では温度$T_3$の熱源と、$T_4$から$T_1$に至る等積・加圧の過程では温度$T_1$の熱源と接触していたと考えて、$1$サイクルの間のエンジン自体のエントロピー変化と熱源（外界）のエントロピー変化をそれぞれ求めて、その正負を論ぜよ。

[問題3]
等温過程と等積過程で構成されるStirling エンジン、
$$\begin{align} (P_1,V_1,T_1)&\rightarrow(P_2,V_2,T_1)&(V_1<V_2)\\ (P_2,V_2,T_1)&\rightarrow(P_3,V_2,T_3)&(P_2>P_3)\\ (P_3,V_2,T_3)&\rightarrow(P_4,V_1,T_3)&(V_1<V_2)\\ (P_4,V_1,T_3)&\rightarrow(P_1,V_1,T_1)&(P_4<P_1) \end{align}$$
について効率を求め、Carnot エンジンの効率との大小を論ぜよ。各過程は順番に等温膨張、等積減圧、等温圧縮、等積加圧である。

Stirling サイクル

演習問題解答

[問題1]
図1は本問で考えるOtto サイクルの$P-V$図である。系が外部になす仕事の総和はPoisson の関係式、Mayer の関係式、及び理想気体の状態方程式を利用して、
$$\begin{align} W_{\mathrm{Total}}=&\displaystyle\int_{1\rightarrow2}PdV+\displaystyle\int_{3\rightarrow4}PdV=\frac{P_1V_1^\gamma}{1-\gamma}(V_2^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma})+\frac{P_3V_3^\gamma}{1-\gamma}(V_4^{1-\gamma}-V_3^{1-\gamma})\nonumber\\ =&\frac{1}{1-\gamma}(P_2V_2-P_1V_1+P_4V_4-P_3V_3)=C_V(T_1-T_2+T_3-T_4)\nonumber \end{align}$$
また、吸熱量$Q$は$Q=C_V(T_1-T_4)$である。よって求める熱効率$\eta$は
$$\eta=\displaystyle\frac{W}{Q}=1-\frac{T_2-T_3}{T_1-T_4}=1-\frac{T_2}{T_1}$$
と求められる。これはCarnot サイクルの熱効率より明らかに小さい。

[問題2]
等積変化$2\rightarrow3$、$4\rightarrow1$におけるエントロピー変化$\Delta S_{2\rightarrow3}$、$\Delta S_{4\rightarrow1}$はそれぞれ、
$$\Delta S_{2\rightarrow3}=C_V\ln{\displaystyle\frac{P_3}{P_2}}　,　\Delta S_{4\rightarrow1}=C_V\ln{\displaystyle\frac{P_1}{P_4}}$$
と求められる。ここで、断熱変化$1\rightarrow2$、$3\rightarrow4$をもとにPoisson の関係式を利用すれば$T_1:T_2=T_4:T_3$であるから、結局エンジン自体エントロピー変化の総和$\Delta S_{\mathrm{Total}}$は
$$\Delta S_{\mathrm{Total}}=C_V\left(\ln{\displaystyle\frac{P_1}{P_4}}+\ln{\displaystyle\frac{P_3}{P_2}}\right)=C_V\left(\ln{\displaystyle\frac{T_1}{T_4}}+\ln{\displaystyle\frac{T_3}{T_2}}\right)=0$$
と求められる。但し、途中で理想気体の状態方程式を用いた。同様にして熱源のエントロピー変化の総和$\Delta \mathcal{S}_{\mathrm{Total}}$は
$$\Delta \mathcal{S}_{\mathrm{Total}}=C_V\left(\displaystyle\frac{T_2}{T_3}+\frac{T_4}{T_1}-2\right)=C_V\left(\displaystyle\sqrt{\frac{T_2}{T_3}}-\sqrt{\frac{T_3}{T_2}}\right)^2>0$$

[問題3]
図2は本問で考えるStirling サイクルの$P-V$図である。系が外部になす仕事の総和は問題1と同様にして、
$$W_{\mathrm{Total}}=nR(T_1-T_3)\ln{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}$$
よって求める熱効率$\eta$は
$$\eta=\left(1-\frac{T_3}{T_1}\right)\displaystyle\frac{\ln{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}}{\ln{\displaystyle\frac{V_2}{V_1}}+\displaystyle\frac{1}{\gamma-1}\left(1-\displaystyle\frac{T_3}{T_1}\right)}$$
作業気体内部でのやりとりとして2$\rightarrow$3で放出された熱量が4$\rightarrow$1で吸収されるとすると（これを再生という。）熱効率$\eta_{\mathrm{~Ideal}}$は
$$\eta_{\mathrm{~Ideal}}=1-\frac{T_3}{T_1}$$
と求められる。これはCarnot サイクルの熱効率に等しい。この理想的なStirling サイクルを実現するためには微小な差を持った2つの温度が平衡状態になって等温になるということが必要であるから事実上無限大の時間を要する、すなわち理想的なStirling サイクルの実現は難しいと言える。
それでもなおStirling サイクルが熱力学史上重要である、あるいは学生の演習問題として教育的である所以は、「再生は効率を上げる。」という自然環境へ目を向ける機会を与えうるからである。