$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}
\def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$
第03講と第04講では今後のノーテーションを準備する。

テンソル積

2つのベクトル空間を用意しよう。$V_1$を$N_1$次元複素ベクトル空間、$V_2$を$N_2$次元複素ベクトル空間とする。$V_1$と$V_2$から、それらを包含する新しいベクトルを次のように構成しよう。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
V_1\ni v\coloneqq(v^1,v^2,\cdots,v^{N_1})^t\\
\\
V_2\ni w\coloneqq(w^1,w^2,\cdots,w^{N_1})^t\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
に対する演算として
\begin{equation}
v\otimes w\coloneqq(v^1w^1,v^1w^2,\cdots,v^1w^{N_2},v^2w^1,\cdots,v^2w^{N_2},\cdots,v^{N_1}w^1,\cdots,v^{N_1}w^{N_2})^t
\end{equation}
を定義する。このときの$v\otimes w$を「$v$テンソル$w$」と呼ぶ場合がある。任意の$v\in V_1$、$w\in V_2$から得られたベクトル$v\otimes w$の線型結合全体であらわされる$N_1\times N_2$次元の空間を$V_1\otimes V_2$と書き、これを$V_1$と$V_2$のテンソル積という。

問題02

以下を示せ。

(1)$V_1$の基底と$V_2$の基底をそれぞれ
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
e^j\coloneqq(0,\cdots,0,\underbrace{1}_{j番目},0,\cdots0)~(j=1,\cdots,N_1)\\
\\
f^k\coloneqq(0,\cdots,0,\underbrace{1}_{k番目},0,\cdots0)~(k=1,\cdots,N_2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
とすると、
\begin{equation}
e^j\otimes f^k=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)
\end{equation}
となることを確かめよ。

(2)$v_1、w_1\in V_1$と$v_2、w_2\in V_2$、及び$\lambda\in\mathbb{C}$に対して、

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
(v_1+w_1)\otimes v_2=v_1\otimes v_2+w_1\otimes v_2\\
\\
v_1\otimes(v_2+w_2)=v_1\otimes v_2+v_1\otimes w_2\\
\\
(\lambda v_1)\otimes v_2=\lambda(v_1\otimes v_2)
\end{array}
\right.
\end{equation}
を確かめよ。

解答02

(1)定義より、$N_2(j-1)+k$番目の成分のみが$1$に、それ以外の成分が$0$となる。例えば、$N_1=3$、$N_2=4$、$j=2$、$k=3$だとすると、
\[
e^j=(0,1,0)　,　f^k=(0,0,1,0)
\]
であり、$e^j\otimes f^k$は
\begin{align}
e^j\otimes f^k=&(0\times0,0\times0,0\times1,0\times0,1\times0,1\times0,1\times1,1\times0,0\times0,0\times0,0\times0,0\times0)\nonumber\\
=&(0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0)
\end{align}
となる。これらより、
\[
e^j\otimes f^k=(0,\cdots,0,\underbrace{1}_{N_2(j-1)+k番目},0,\cdots,0)
\]と確かめられる。

(2)$v_1$、$w_1$、$v_2$、$w_2$をそれぞれ
\[
v_1\coloneqq(v_1^1,v_1^2,\cdots,v_1^{N_1})^t　,　w_1\coloneqq(w_1^1,w_1^2,\cdots,w_1^{N_1})^t
\]
\[
v_2\coloneqq(v_2^1,v_2^2,\cdots,v_2^{N_2})^t　,　w_2\coloneqq(w_2^1,w_2^2,\cdots,w_2^{N_2})^t
\]
とおくと,それぞれ
\begin{align}
(v_1+w_1)\otimes v_2=&\biggl((v_1^1+w_1^1)v_2^1,\cdots,(v_1^1+w_1^1)v_2^{N_2},\cdots,(v_1^{N_1}+w_1^{N_1}v_2^1,\cdots,(v_1^{N_1}+w_1^{N_1}v_2^{N_2}\biggr)\nonumber\\
=&(v_1^1v_2^1,\cdots,v_1^1v_2^{N_2},\cdots,v_1^{N_1}v_2^1,\cdots,v_1^{N_1}v_2^{N_2})\nonumber\\
&+(w_1^1v_2^1,\cdots,w_1^1v_2^{N_2},\cdots,w_1^{N_1}v_2^1,\cdots,w_1^{N_1}v_2^{N_2})\nonumber\\
=&v_1\otimes v_2+w_1\otimes v_2,\nonumber
\end{align}
\begin{align}
v_1\otimes(v_2+w_2)=&\biggl(v_1^1(v_2^1+w_2^1),\cdots,v_1^{N_1}(v_2^1+w_2^1),\cdots,v_1^{N_1}(v_2^1+w_2^1),\cdots,v_1^{N_1}(v_2^{N_2}+w_2^{N_2})\biggr)\nonumber\\
=&(v_1^1v_2^1,\cdots,v_1^1v_2^{N_2},\cdots,v_1^{N_1}v_2^1,\cdots,v_1^{N_1}v_2^{N_2})\nonumber\\
&+(v_1^1w_2^1,\cdots,v_1^1w_2^{N_2},\cdots,v_1^{N_1}w_2^1,\cdots,v_1^{N_1}w_2^{N_2})\nonumber\\
=&v_1\otimes v_2+v_1\otimes w_2,\nonumber
\end{align}
\[
(\lambda v_1)\otimes v_2=(\lambda v_1^1v_2^1,\cdots,\lambda v_1^1v_2^{N_2},\cdots,\lambda v_1^{N_1}v_2^1,\cdots,\lambda v_1^{N_1}v_2^{N_2})=\lambda(v_1\otimes v_2),
\]
と計算される。よって題意は示された。

$v\otimes w$は別の表示法として
\begin{equation}
v\otimes w=vw^t=\left(
\begin{array}{cccc}
v^1w^1&v^1w^2&\cdots&v^1w^{N_2}\\
v^2w^1&v^2w^2&\cdots&v^2w^{N_2}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
v^{N_1}w^1&v^{N_1}w^2&\cdots&v^{N_1}w^{N_2}\\
\end{array}
\right)
\end{equation}
という定義も存在するので、注意が必要である。

この講義のオリジナルルールとして、$V_1\otimes V_2$の元を成分表示で$z^{jk}$と書くことにする。すなわち、以下のようになる。
\begin{equation}
z=(z^{11},z^{12},\cdots,z^{1N_2},z^{21},z^{22},\cdots,z^{2N_2},\cdots,z^{N_11},\cdots,z^{N_1N_2})
\end{equation}

$V_1\otimes V_2$に作用する行列

$V_1\otimes V_2$に作用する$N_1N_2\times N_1N_2$行列のうち、以下のような$A\otimes B$、$A_1$、$B_2$という行列が今後よく出てくるので準備しておこう。

$A\in\mathrm{End}(V_1)$を$V_1$に作用する$N_1\times N_1$行列、$B\in\mathrm{End}(V_2)$を$V_2$に作用する$N_2\times N_2$行列とする（$\mathrm{End}(V)$は$V$上の準自己同型写像（endomorphism）を意味している。）。このとき、$A\otimes B\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$を、$v_i\in V_1$、$v_2\in V_2$に対して
\begin{equation}
(A\otimes B)(v_1\otimes v_2)\coloneqq Av_1\otimes Bv_2
\end{equation}
と定義する。また、$A_1$と$B_2$を
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
A_1\coloneqq A\otimes\mathbbm{1}_{N_2}\\
\\
B_2\coloneqq \mathbbm{1}_{N_1}\otimes B
\end{array}
\right.
\end{equation}
と定義する。但し、$\mathbbm{1}_{N_1}$、$\mathbbm{1}_{N_2}$はそれぞれ$V_1$、$V_2$に作用する単位行列である。

次に成分表示$C\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$を考えよう。今後、成分を$C^{ij,kl}~(i,j:1,\cdots,N_1~\mathrm{and}~k,l:1,\cdots,N_2)$と書くことが多い。すなわち、
\begin{equation}
C=\left(
\begin{array}{cccccc}
\{11\}&\{12\}&\cdots&\{1j\}&\cdots&\{1N_2\}\\
\{21\}&\{22\}&\cdots&\{2j\}&\cdots&\{2N_2\}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\{i1\}&\{i2\}&\cdots&\{ij\}&\cdots&\{iN_2\}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
\{N_11\}&\{N_12\}&\cdots&\{N_1j\}&\cdots&\{N_1N_2\}
\end{array}
\right)
\end{equation}
となっている。$C^{ij,kl}$の$ij$はどこのブロックに入っているのか示していて、$kl$はそのブロックのどの成分を指定しているのかを示している。$C_1、C_2\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$のとき、$C=C_1C_2$の成分は$C^{ij,kl}=C_1^{ia_1,ka_2}C_2^{a_1j,a_2l}$である。但し、添字についてEinstein の縮約を用いている。

特に、$N_1=N_2=2$の場合を考えてみよう。このとき、
\begin{equation}
A=\left(
\begin{array}{cc}
A^{11}&A^{12}\\
A^{21}&A^{22}
\end{array}
\right)\in\mathrm{End}(V_1)　,　B=\left(
\begin{array}{cc}
B^{11}&B^{12}\\
B^{21}&B^{22}
\end{array}
\right)\in\mathrm{End}(V_2)
\end{equation}
に対して、$A\otimes B$は次のようになる。
\begin{equation}
A\otimes B=\left(
\begin{array}{cc}
A^{11}B&A^{12}B\\
A^{21}B&A^{22}B
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
A^{11}B^{11}&A^{11}B^{12}&A^{12}B^{11}&A^{12}B^{12}\\
A^{11}B^{21}&A^{11}B^{22}&A^{12}B^{21}&A^{12}B^{22}\\
A^{21}B^{11}&A^{21}B^{12}&A^{22}B^{11}&A^{22}B^{12}\\
A^{21}B^{21}&A^{21}B^{22}&A^{22}B^{21}&A^{22}B^{22}
\end{array}
\right)
\end{equation}

問題03

$N_1=N_2=2$とするとき、以下を示せ。

(1)$A_1$、$B_2$の成分表示を求めよ。

(2)$P\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$を任意の$x\otimes y\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$に対して$P(x\otimes y)\coloneqq y\otimes x$で定義する。このときの$P$の成分表示を求めよ。

(3)$P(A\otimes B)P=B\otimes A$を示せ。

(4) (3)の一般化で、$C_{12}\in\mathrm{End}(V_1\otimes V_2)$のとき、$PC_{12}P=C_{21}$を示せ。但し、$C_{21}$は$C_{21}^{ab,jk}\coloneqq C_{12}^{jk,ab}$で定義される。

解答03

(1)定義に従って計算すれば、それぞれ以下のように求まる。
\[
A_1=A\otimes\mathbbm{1}_2=\left(
\begin{array}{cc}
A^{11}&A^{12}\\
A^{21}&A^{22}
\end{array}
\right)\otimes\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
A^{11}&0&A^{12}&0\\
0&A^{11}&0&A^{12}\\
A^{21}&0&A^{22}&0\\
0&A^{21}&0&A^{22}\\
\end{array}
\right)
\]
\[
B_2=\mathbbm{1}_2\otimes B=\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}
\right)\otimes\left(
\begin{array}{cc}
B^{11}&B^{12}\\
B^{21}&B^{22}
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cccc}
B^{11}&B^{12}&0&0\\
B^{21}&B^{22}&0&0\\
0&0&B^{11}&B^{12}\\
0&0&B^{21}&B^{22}
\end{array}
\right)
\]

(2)$x\coloneqq(x^1,x^2)$、$y\coloneqq(y^1,y^2)$と定義すると、
\[
x\otimes y=\left(
\begin{array}{c}
x^1y^1\\
x^1y^2\\
x^2y^1\\
x^2y^2
\end{array}
\right)　,　
y\otimes x=\left(
\begin{array}{c}
y^1x^1\\
y^1x^2\\
y^2x^1\\
y^2x^2
\end{array}
\right)
\]
となるので、
\[
P\left(
\begin{array}{c}
x^1y^1\\
x^1y^2\\
x^2y^1\\
x^2y^2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
y^1x^1\\
y^1x^2\\
y^2x^1\\
y^2x^2
\end{array}
\right)
\]
が成り立つ必要がある。これより、$P$は以下のように容易に求められる。
\[
P=\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)
\]

(3)以下のように容易に確認できる。
\begin{align}
P(A\otimes B)P\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
A^{11}B^{11}&A^{11}B^{12}&A^{12}B^{11}&A^{12}B^{12}\\
A^{11}B^{21}&A^{11}B^{22}&A^{12}B^{21}&A^{12}B^{22}\\
A^{21}B^{11}&A^{21}B^{12}&A^{22}B^{11}&A^{22}B^{12}\\
A^{21}B^{21}&A^{21}B^{22}&A^{22}B^{21}&A^{22}B^{22}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
A^{11}B^{11}&A^{11}B^{12}&A^{12}B^{11}&A^{12}B^{12}\\
A^{21}B^{11}&A^{21}B^{12}&A^{22}B^{11}&A^{22}B^{12}\\
A^{11}B^{21}&A^{11}B^{22}&A^{12}B^{21}&A^{12}B^{22}\\
A^{21}B^{21}&A^{21}B^{22}&A^{22}B^{21}&A^{22}B^{22}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
B^{11}A^{11}&B^{11}A^{12}&B^{12}A^{11}&B^{12}A^{12}\\
B^{11}A^{21}&B^{11}A^{22}&B^{12}A^{21}&B^{12}A^{22}\\
B^{21}A^{11}&B^{21}A^{12}&B^{22}A^{11}&B^{22}A^{12}\\
B^{21}A^{21}&B^{21}A^{22}&B^{22}A^{21}&B^{22}A^{22}
\end{array}
\right)=B\otimes A　　　　　　　　　　\nonumber
\end{align}

(4)以下のように容易に確認できる。
\begin{align}
PC_{12}P\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
C_{12}^{11,11}&C_{12}^{11,12}&C_{12}^{12,11}&C_{12}^{12,12}\\
C_{12}^{11,21}&C_{12}^{11,22}&C_{12}^{12,21}&C_{12}^{12,22}\\
C_{12}^{21,11}&C_{12}^{21,12}&C_{12}^{22,11}&C_{22}^{12,12}\\
C_{12}^{21,21}&C_{12}^{21,22}&C_{12}^{22,21}&C_{22}^{12,22}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
C_{12}^{11,11}&C_{12}^{11,12}&C_{12}^{12,11}&C_{12}^{12,12}\\
C_{12}^{21,11}&C_{12}^{21,12}&C_{12}^{22,11}&C_{22}^{12,12}\\
C_{12}^{11,21}&C_{12}^{11,22}&C_{12}^{12,21}&C_{12}^{12,22}\\
C_{12}^{21,21}&C_{12}^{21,22}&C_{12}^{22,21}&C_{22}^{12,22}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1
\end{array}
\right)\nonumber\\
=&\left(
\begin{array}{cccc}
C_{12}^{11,11}&C_{12}^{12,11}&C_{12}^{11,12}&C_{12}^{12,12}\\
C_{12}^{21,11}&C_{12}^{22,11}&C_{12}^{21,12}&C_{22}^{12,12}\\
C_{12}^{11,21}&C_{12}^{12,21}&C_{12}^{11,22}&C_{12}^{12,22}\\
C_{12}^{21,21}&C_{12}^{22,21}&C_{12}^{21,22}&C_{22}^{12,22}
\end{array}
\right)=C_{21}　　　　　　　　　\nonumber
\end{align}