線形写像

のちにより抽象的な「ベクトル」の概念を導入しますが，ひとまずは親しみやすい，数を並べたベクトルに関して考えることにします．線形写像の定義は以下です．

定義（線形写像）

$n$項数ベクトル空間$\mathbb{R}^n$から$m$項数ベクトル空間$\mathbb{R}^m$への写像

軽く用語の解説をします．「ベクトル空間」の正確な定義は後で与えますが，今のところは高校で習ったようなベクトルをイメージしてもらえば構いません．$n$項数ベクトル空間の元は

「写像」は，実数以外にも値をとる関数のことと考えてもらえばいいです．ここでは，$n$項数ベクトルを1つ与えると，$m$項数ベクトルを1つ返す関数という意味です．$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$とは，「$f$は$\mathbb{R}^nから\mathbb{R}^m$への写像である．」という意味です．

さて，写像が線形写像であるとはどういう意味か，具体例を通じて探っていきます．

例1

$f(x)=ax$により定まる写像$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$は線形写像である．

線形写像の定義に合致しているか確かめてみましょう．

例2

$f(x)=ax+b(b \neq 0)$で定まる写像は線形写像ではない．（条件を確かめて証明してみましょう）

例3

$f(x_1,x_2)=(2x_1+3x_2, x_1+2x_2)$で定まる写像は線形写像である．(これも証明してみましょう）

この写像はどのような写像でしょうか？座標平面で考えてみてください．

例4

$f(x)=(2x, 3x), g(x,y)=(x+y, 2x+y, x)$とするとき，$h(x)=g(f(x))$で定まる写像$h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$は線形写像である．

一般に，2つの線形写像の合成はまた線形写像になります．

線形写像と行列

この節では線形写像が行列によって表現されることを見ます．

 定義（標準基底）

$\mathbb{R}$のベクトルを列ベクトルで表すことにして，以下の$n$個のベクトルを考える．

さて，ここで線形写像$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$が与えられたとします．$\mathbb{R}^n$の標準基底が$f$によって

$\mathbb{R}^n$の任意のベクトル${x}$は，

例1
$f\Biggl(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right)\Biggl)=\left(\begin{array}{c} 2x_1+3x_2 \\ x_1+x_2 \end{array} \right)$によって定まる線形写像$f$に対応する行列を求める．

この，「行列を使って線形写像を表現できる」という点に，行列を使う利点が凝縮されています．線形写像という扱いにくいものを，行列の和や積を使ってあたかも数のように扱うことができます．
次の章では，いろいろな種類の線形写像と，行列の積の意味を見ていきます．