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場の量子論における対称性

この講義では共形対称性と超対称性という、後の物理学で重要な役割を果たすことになる場の量子論における対称性についての入門を行う。初めに、具体例で馴染むためにLorentz 対称性とPoincare 対称性について議論する。我々は代数との対応や、それらの表現の下で場がどのように変換されるのかを見ることになる。特に場の量子論で入門を行ったLorentz 代数のテンソル表現とスピノール表現について議論を行う。更に、Poincare 代数の下での質量のない状態と質量のある状態をそれぞれ考え、それらが与える結果について議論する。対称性の重要な特性は相関関数へ制約を与えるということである。

次に、Coleman-Mandula の定理について論じる。これは、ある合理的な状況の下で、場の量子論が可能な最大のBoson的な対称代数は、Poincare 代数といくつかの内部対称性であるという主張である。Poincare 代数を拡張することによってColeman-Mandula の定理を回避することができる。まず、Lorentz 変換と並進のもとでのみ不変な理論ではなく、共形変換のもとで不変である理論を考慮する。そして、反交換関係を満たすPoincare 代数にスピン電荷を追加する。これは超対称性の基本的な考え方である。そしてPoincare 代数と超共形理論の両方の拡張を組み合わせる。それぞれの拡張対称性について、Lorentz 代数とPoincare 代数から得られた経験を用いて、対応する拡張代数の表現と分野の変換法則について議論する。更に、これらが相関関数にどのように制約を与えるかを見る。

Lorentz 対称性とPoincare 対称性

$\Lambda(\omega)$を次のように微小的に拡張する。

\begin{equation}
\Lambda(\omega)^\mu_\nu=\delta^\mu_\nu+\eta^{\mu\rho}\omega_{\rho\nu}\tag{1}
\end{equation}

但し、$\omega_{\rho\nu}$は2つの添字$\rho$、$\nu$の交換について反対称である。有限の変換は微小変換の形式において指数を取ることで容易に再構成することが出来る。そのような場合、生成子$J_{\mu\nu}$を導入すると便利である。これらは$d\times d$行列である。これを利用すると$\Lambda(\omega)^\mu_\nu$は次のように書ける。

\begin{equation}
\Lambda(\omega)^\mu_\nu=\delta^\mu_\nu+\dfrac{i}{2}\omega^{\rho\sigma}{(J_{\rho\sigma})^\mu}_\nu\tag{2}
\end{equation}

但し、ここで$J_{\rho\sigma}$の成分は次のように特徴付けられている。

\begin{equation}
{(J_{\rho\sigma})^\mu}_\nu=i(\eta_{\rho\nu}\delta^\mu_\sigma-\eta_{\sigma\nu}\delta^\mu_\rho)\tag{3}
\end{equation}

特に、$J_{\rho\sigma}$はLie 代数$\mathfrak{so}(d-1,1)$の交換関係、

\begin{equation}
[J_{\mu\nu},J_{\rho\sigma}]=i(\eta_{\mu\rho}J_{\nu\sigma}+\eta_{\nu\sigma}J_{\mu\rho}-\eta_{\nu\rho}J_{\mu\sigma}-\eta_{\mu\sigma}J_{\nu\rho})\tag{4}
\end{equation}

を満たす。有限のLorentz 変換(2)は次のように与えられる。

\begin{equation}
\Lambda(\omega)=\exp{\left(\dfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}\right)}\tag{5}
\end{equation}

生成子$J_{kl}~(k,l=1,\cdots,d-1$は回転に対応している。一方、生成子$J_{0k}$はブーストに対応している。ここで注意すべきなのは、全ての生成子$J_{\mu\nu}$がHermitian ではないということである。これはLorentz 群$SO(d-1,1)$の非コンパクト性による。実際、以下のように、回転の生成子はHermitian になるように選ぶことが出来るのに対して、ブーストの生成子はanti-Hermitian になる。

\begin{equation}
(J_{kl})^\dagger=J_{kl}　、　(J_{0k})^\dagger=-J_{0k}\tag{6}
\end{equation}

残された問題は、異なるLorentz 共変な場、局所対称なカレント、及び場の理論における保存電荷が、Lorentz 代数の有限次元表現の下でどのように変換するかを調べるということである。$n$成分の場$\phi$を考えよう。これはすなわち、$\phi$を各成分が$\phi^a,a=1,\cdots,n$の列ベクトルとみなして良いということである。微小Lorentz 変換(1)のもとで場$\phi$は

\begin{equation}
\delta\phi^a=\dfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}{(\mathcal{J}^{\mu\nu})^a}_b\phi^b\tag{7}
\end{equation}

と変換される。ここで、$\mathcal{J}^{\mu\nu}$はLorentz 代数(4)を満たしている。$\mathcal{J}^{\mu\nu}$の$\mu$、$\nu$は固定されていて、$\mathcal{J}^{\mu\nu}$は$n\times n$行列だと思うことが出来る（但し、$n$は$d$であると同定することは出来ない。）。また、$\phi$は$n$成分の列ベクトルであると考えて良い。微小でないLorentz 変換は変換則(7)の指数を取れば良くて、

\begin{equation}
{\phi’}^a(x)=D(\Lambda(\omega))^a_b\phi^b(\Lambda^{-1}x)~\mathrm{with}~D(\Lambda(\omega))=\exp{\left(\dfrac{i}{2}\omega_{\mu\nu}\mathcal{J}^{\mu\nu}\right)}\tag{8}
\end{equation}

と書くことが出来る。$D(\Lambda(\omega))$と$\Lambda(\omega)$の唯一の違いは、$J^{\mu\nu}$が$\mathcal{J}^{\mu\nu}$に置き換わっている点である。故に、(8})の形が取りうる全ての変換則を分類するには、$\mathcal{J}^{\mu\nu}$がどのように選べるのかをもう少し詳細に調べる必要がある。これを行うには付録B で復習をした表現論の言葉を利用する必要がある。

$\mathcal{J}^{\mu\nu}$は交換関係(4)を満たすので、行列$\mathcal{J}^{\mu\nu}$はLorentz 代数の表現を形成する。特に、我々が興味があるのは既約表現なので、これらは初等的な場に対応していることになる。次の節ではLorentz 代数$\mathfrak{so}(d-1,1)$の重要な有限次元の既約表現を議論することにする。