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Hodge 双対

添字$\mu$、$\nu$について反対称であり、表現$\mathbf{d}\otimes_{\mathrm{A}}\mathbf{d}$で変換する、2階の反対称テンソル$\phi_{[\mu\nu]}$を考えよう。このとき、$\phi=\phi_{[\mu\nu]}dx^\mu\wedge dx^\nu$というように2形式で2階の反対称テンソルを考えるのが便利である。

もし、$\mu$、$\nu$を縮約するために不変テンソル$\eta^{\mu\nu}$を利用して計算すると、計算結果は0になるから、表現$\mathbf{d}\otimes_{\mathrm{A}}\mathbf{d}$は既に既約であるということが結論出来る。しかし、4次元Minkowski 時空においては、$\epsilon^{0123}=-1$と規格化された完全反対称テンソル$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$を利用できる。これは2階のテンソル$\phi$を$\phi$自身のHodge 双対であるようなもう1つの2階反対称テンソル$^*\phi$に関連付ける、すなわち

\begin{equation}
^*\phi^{[\mu\nu]}=\dfrac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\phi_{[\rho\sigma]}\tag{13}
\end{equation}

とするような役割を持っている。特に、$^*(^*\phi)=-\phi$となっている。Hodge 双対を用いると$\phi$について

\begin{equation}
^*\phi=i\phi　\mathrm{or}　^*\phi=-i\phi\tag{14}
\end{equation}

という2つの異なる射影条件を課すことが出来る。(14)を満たす正符号の反対称テンソル・負符号の反対称テンソルはそれぞれ自己双対テンソル・反自己双対テンソルという。（反）自己双対テンソルは3次元既約表現$\mathbf{3}^+$と$\mathbf{3}^-$を生じさせる。このとき、両方の表現は複素表現であり、複素共役を取ると両方の表現がもう一方に写されるということ、すなわち、$(\mathbf{3}^{\pm})^*=\mathbf{3}^{\mp}$に注意されたい。以下で解説する通り、これは最早、4次元Euclid 時空で成り立つ関係ではない。

要約すると、4次元時空において、我々は2階反対称テンソルを次の式のように自己双対な部分と反自己双対な部分に分解することが出来る。

\begin{equation}
\mathbf{4}\otimes_{\mathrm{A}}\mathbf{4}=\mathbf{3}^+\oplus\mathbf{3}^-\tag{15}
\end{equation}

Euclid 時空における自己双対テンソルと反自己双対テンソル

Euclid 時空の場合、Hodge 双対は$^*(^*\phi)=+\phi$を満たすことになるから、我々は次のように$\phi$に条件を課せば良いことになる。

\begin{equation}
^*\phi=\phi　\mathrm{or}　^*\phi=-\phi\tag{16}
\end{equation}

これらはそれぞれ表現$\mathbf{3}^{\pm}$における自己双対テンソル・反自己双対テンソルと定義されている。この場合は最早、表現$\mathbf{3}^{\pm}$は複素共役を取ってもお互いに写り合わない。

(13)-(15)の具体例として電磁気学を考えてみる。$c=\varepsilon_0=\mu_0=1$の単位系を選ぶと、$4$元ポテンシャル$\{A^\mu\}=\{\Phi,\bm{A}\}$ or $\{A_\mu\}=\{-\Phi,\bm{A}\}$を用いれば、電場と磁場（磁束密度）はそれぞれ以下のようにあらわされる。
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\bm{E}=-\nabla\Phi-\dfrac{\partial}{\partial t}\bm{A}=(\partial_1A_0-\partial_0A_1,\partial_2A_0-\partial_0A_2,\partial_3A_0-\partial_0A_3)\\
\bm{B}=\nabla\times\bm{A}=(\partial_2A_3-\partial_3A_2,\partial_3A_1-\partial_1A_3,\partial_1A_2-\partial_2A_1)
\end{array}
\right.
\]
従って、$\bm{E}$、$\bm{B}$は2階共変反対称テンソル
\[
F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\left(
\begin{array}{rrrr}
0~&-E_x&-E_y&-E_z\\
E_x&0~&B_z&-B_y\\
E_y&-B_z&0~&B_x\\
E_z&B_y&-B_x&0~
\end{array}
\right)
\]
に統合される。これを電磁場テンソルという。つまり、電場と磁場というのは別々の存在ではなく、それぞれが電磁場という1つの場の一部であり、電磁場のうちどれだけが電場でどれだけが磁場になるのかは座標系により異なるのである。

このテンソルを利用すると、Maxwell 方程式
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\nabla\cdot\bm{B}&=&0\\
\nabla\times\bm{E}+\dfrac{\partial\bm{B}}{\partial t}&=&0\\
\nabla\cdot\bm{E}&=&4\pi\rho\\
\nabla\times\bm{B}-\dfrac{\partial\bm{E}}{\partial t}&=&4\pi\bm{j}\\
\end{array}
\right.
\]
は次のようにまとめられる。前半の2つの式、すなわち場がポテンシャルをもつ条件は
\[
\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}+\partial_\rho F_{\mu\nu}=0
\]
と書け、後半の2つの式、すなわち電荷・電流分布から作られる条件は
\[
\partial_\nu F^{\mu\nu}=4\pi J_{\mathrm{Electric}}^\mu
\]
とまとめられる。但し、$J_{\mathrm{Electric}}=\{J_{\mathrm{Electric}}^\mu\}=(\rho,\bm{j})$である。これらはいずれもLorentz 共変な式なので、電磁気学はLorentz 共変性を満たしていると言える。

このMaxwell 方程式は$2$形式
\[
\left\{
\begin{array}{l}
F\coloneqq\dfrac{1}{2}F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu\\
{}^*F=\dfrac{1}{2}{}^*F_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu\coloneqq\dfrac{1}{4}F^{\mu\nu}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}dx^\rho\wedge dx^\sigma
\end{array}
\right.
\]
及び$3$形式
\[
{}^*J_{\mathrm{Electric}}\coloneqq\dfrac{1}{3!}J_{\mathrm{Electric}}^\mu\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\sigma
\]
を用いて
\[
dF=0　、　d{}^*F=4\pi{}^*J_{\mathrm{Electric}}
\]
とあらわされる。これらより$F_{\mu\nu}$のデュアルテンソル${}^*F_{\mu\nu}$は
\[
{}^*F_{\rho\sigma}\coloneqq\dfrac{1}{2}F^{\mu\nu}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=\left(
\begin{array}{cccc}
0~&B_x&B_y&B_z\\
-B_x&0~&E_z&-E_y\\
-B_y&-E_z&0~&E_x\\
-B_z&E_y&-E_x&0~
\end{array}
\right)
\]
と書ける。電磁気学では、$F$をFaraday 形式、${}^*F$をMaxwell 形式と呼ばれている。因みに、もし磁気単極子が存在するならば、電気的電流密度$J_{\mathrm{Electric}}$の他に磁気的電流密度$J_{\mathrm{Magnetic}}$があり、Maxwell 方程式は対称な形
\[
dF=4\pi J_{\mathrm{Magnetic}}　、　d{}^*F=4\pi{}^*J_{\mathrm{Electric}}
\]
とあらわされる。