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スピノール表現

Lorentz 群はテンソル表現に加えて、既約表現の更なるクラスとしてスピノール表現を有している（数学的に言えば、スピノールはLorentz 群の二重被覆なLie 群であるスピン群の表現である。これはスピノールがLoretz 群の射影表現であることを意味している。）。これらは次のようなClifford 代数によって構成されている。

\begin{equation}
\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=:\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=-2\eta_{\mu\nu}\mathbbm{1}\tag{17}
\end{equation}

但し、$\gamma_\mu$はDirac の行列である。反交換関係(17)を用いると$k\in\{1,2,\cdots,d-1\}$において$(\gamma_0)^2=\mathbbm{1}$と$(\gamma_k)^2=-\mathbbm{1}$が成り立つことが分かる。従って、$\gamma_0$は固有値として$\pm1$を持ち、一方で$\gamma_k$は固有値として$\pm i$を持つ。故に、$\gamma_0$、$\gamma_k$はそれぞれHermitian とanti-Hermitian になるように選ぶことが出来る。

\begin{equation}
(\gamma_0)^\dagger=\gamma_0　、　(\gamma_k)^\dagger=-\gamma_k\tag{18}
\end{equation}

Dirac のガンマ行列を用いると、次のようにLorentz 代数を構成することが出来る。

\begin{equation}
\mathcal{J}^{\mu\nu}=\dfrac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\tag{19}
\end{equation}

これをLorentz 代数のDirac スピノール表現と言う。ここで、$\gamma_\mu$は$\eta^{\mu\nu}$を用いて$\gamma^\mu=\eta^{\mu\nu}\gamma_\nu$のように添字を上げたりすることが出来る。

問題

(19)がLorentz 代数の表現であること、すなわち交換関係(4)が満たされていることを確かめよ。

解答

ひたすらフリップを用いて計算していく。交換関係(4)の左辺は
\begin{align}
[\mathcal{J}_{\mu\nu},\mathcal{J}_{\rho\sigma}]=&-\dfrac{1}{16}\{(\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma-\gamma_\nu\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma-\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\rho+\gamma_\nu\gamma_\mu\gamma_\sigma\gamma_\rho)\nonumber\\
&-(\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\mu\gamma_\nu-\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\nu\gamma_\mu-\gamma_\sigma\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\sigma\gamma_\rho\gamma_\nu\gamma_\mu)\}\nonumber\\
=&-\dfrac{1}{8}\{(\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma-\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\rho)-(\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\mu\gamma_\nu-\gamma_\sigma\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\nu)\}\nonumber\\
=&-\dfrac{1}{4}(\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma-\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\rho)=0\nonumber
\end{align}
と計算される。同様にして、右辺の方も以下のように計算出来る。
\begin{align}
&i(\eta_{\mu\rho}\mathcal{J}_{\nu\sigma}+\eta_{\nu\sigma}\mathcal{J}_{\mu\rho}-\eta_{\nu\rho}\mathcal{J}_{\mu\sigma}-\eta_{\mu\sigma}\mathcal{J}_{\nu\rho})\nonumber\\
=&\dfrac{1}{8}(\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\nu\gamma_\sigma+\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\sigma-\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\nu-\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\sigma\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\mu\gamma_\rho+\gamma_\sigma\gamma_\nu\gamma_\mu\gamma_\rho\nonumber\\
&-\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\rho\gamma_\mu-\gamma_\sigma\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\mu-\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\mu\gamma_\sigma-\gamma_\rho\gamma_\nu\gamma_\mu\gamma_\sigma+\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\mu+\gamma_\rho\gamma_\nu\gamma_\sigma\gamma_\mu\nonumber\\
&-\gamma_\mu\gamma_\sigma\gamma_\nu\gamma_\rho-\gamma_\sigma\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho+\gamma_\mu\gamma_\sigma\gamma_\rho\gamma_\nu+\gamma_\sigma\gamma_\mu\gamma_\rho\gamma_\nu)=0
\end{align}
よって題意は示された。

一般に、$d$次元時空に対してDirac 行列$\gamma^\mu$を構築することが可能である。実際、偶数次元$d$について、Clifford 代数の複素既約表現の相似変換を見つけることが出来る。一方で、奇数次元$d$については、Clifford 代数の2つの等価な複素既約表現を見いだせる。偶数次元と奇数次元のどちらも、既約表現は複素次元$2^{\left\lfloor\frac{d}{2}\right\rfloor}$である（$\left\lfloor\frac{d}{2}\right\rfloor$は床関数である。Gauss 記号と同じ意味だと解釈すればよい。）。

まず、$d=4$に限定してClifford 代数(17)を満たす複素次元$4$の既約表現を考える。問題は生成子(19)がLorentz 群の可約な表現を形成するのか、または既約な表現を形成するのかということである。この問題に答えるためには、我々はDirac のガンマ行列に関するいくつかの基本的な事実を確認しなければならない。

相似変換では、Dirac のガンマ行列$\gamma_\mu$はClifford 代数(17)の唯一の既約表現を構成する。従って、$\{-\gamma_\mu\}$、$\{\pm\gamma^{\mathrm{T}}_\mu\}$、$\{\gamma^*_\mu\}$、$\{\pm\gamma^\dagger_\mu\}$などの他のガンマ行列の集合も相似変換によって$\gamma_\mu$と関連付けられる。例えば、$\gamma_\mu$は$\mathcal{B}$を用いて$\gamma^\dagger_\mu$に関連付けられる。

\begin{equation}
\mathcal{B}\gamma_\mu\mathcal{B}^{-1}=(\gamma_\mu)^\dagger\tag{20}
\end{equation}

但し、$\mathcal{B}$は以下で定義される。

\begin{equation}
\mathcal{B}=\gamma^0\tag{21}
\end{equation}

ここで、$\mathcal{B}$の位相は$\mathcal{B}^2=\mathbbm{1}$かつ$\mathcal{B}=\mathcal{B}^*=\mathcal{B}^\dagger$であるように選んだ。更に、$-\gamma_\mu$を$\gamma_\mu$にするような相似変換は$\gamma_5$を用いて次のように与えられる。

\begin{equation}
\gamma_5\gamma_\mu\gamma_5^{-1}=-\gamma_\mu\tag{22}
\end{equation}

但し、$\gamma_5$は以下で定義される。

\begin{equation}
\gamma_5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\tag{23}
\end{equation}