$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}}$

スピノール表現

今回は前回に引き続き、スピノール表現を扱う．理解を深めるために演習を行いながら進めていこう。

問題

$\mathcal{B}$、$\gamma_5$がそれぞれ(21)、(23)で与えられると仮定した場合、相似変換(20)と(22)が成り立つことを証明せよ。

解答

まず(20)が成り立つことを示す。$\mu=0$なら自明に成り立つ。$\mu\neq0$なら$(\gamma_\mu)^\dagger=-\gamma_\mu$なので、以下のように(20)が示せる。
$$\{\gamma_0,\gamma_\mu\}=\gamma_0\gamma_\mu+\underbrace{\gamma_\mu\gamma_0}_{(18)}=\gamma_0\gamma_\mu-(\gamma_\mu)^\dagger\gamma_0=0\Longleftrightarrow\gamma_0\gamma_\mu\gamma_0^{-1}=\mathcal{B}\gamma_\mu\mathcal{B}^{-1}=(\gamma_\mu)^\dagger$$
次に(22)が成り立つことを示す。これは(17)を用いて$\gamma_\mu$を1つずつ左に移し替えていけば良い。例えば$\mu=2$なら、以下のように(22)が示せる。
$$i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_2=-i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_2\gamma_3=i\gamma_0\gamma_2\gamma_1\gamma_2\gamma_3=-i\gamma_2\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3=-\gamma_2\gamma_5\Longleftrightarrow\gamma_5\gamma_2\gamma_5^{-1}=-\gamma_2$$

問題

(23)で与えられる$\gamma_5$に以下の性質があることを示せ。

$$\begin{equation} \{\gamma_5,\gamma_\mu\}=0　、　\gamma^2_5=\mathbbm{1}　、　\gamma_5=\gamma_5^\dagger\tag{24} \end{equation}$$

解答

$\{\gamma_5,\gamma_\mu\}=0$が成り立つことは(22)より明らか。$\gamma^2_5=\mathbbm{1}$が成り立つことは次のように計算することで示せる。
$$\gamma_5^2=-\gamma_5\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3=\gamma_0\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_1\gamma_2\gamma_3=-\gamma_1\gamma_2\gamma_1\gamma_3\gamma_2\gamma_3=-\gamma_1\gamma_1\gamma_2\gamma_2\gamma_3\gamma_3=\mathbbm{1}$$
$\gamma_5=\gamma_5^\dagger$が成り立つことは次のように計算することで示せる。
$$\begin{align} \gamma_5^\dagger=(i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3)^\dagger=&(\gamma_3)^\dagger(i\gamma_0\gamma_1\gamma_2)^\dagger=\gamma_3^\dagger\gamma_2^\dagger(i\gamma_0\gamma_1)^\dagger\nonumber\\ =&-i\gamma_3^\dagger\gamma_2^\dagger\gamma_1^\dagger\gamma_0^\dagger=i\gamma_3\gamma_2\gamma_1\gamma_0=i\gamma_2\gamma_3\gamma_0\gamma_1=i\gamma_2\gamma_0\gamma_1\gamma_3=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3=\gamma_5 \end{align}$$

問題

$\gamma_5$はトレースレスで、さらに$[\gamma_5,\mathcal{J}^{\mu\nu}]=0$を満たすことを示せ。但し、$\mathcal{J}^{\mu\nu}$は(19)で与えられる。

解答

$$\gamma^\mu\gamma^\nu=\dfrac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu)+\dfrac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu)=-\eta^{\mu\nu}+(\mathrm{Pauli~matrices~term})$$
これについて両辺トレースを取るとPauli 行列に関する部分は$0$となるから、
$$\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu)=-4\eta^{\mu\nu}$$
となる。これらを利用すれば以下のように計算できる。
$$\begin{align} \mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=&\mathrm{tr}\{(-2\eta^{\mu\nu}-\gamma^\nu\gamma^\mu)\gamma^\rho\gamma^\sigma\}=-2\eta^{\mu\nu}\mathrm{tr}(\gamma^\rho\gamma^\sigma)-\mathrm{tr}\{\gamma^\nu(-2\eta^{\mu\rho}-\gamma^\rho\gamma^\mu)\gamma^\sigma\}\nonumber\\ =&8\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-8\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\mathrm{tr}\{\gamma^\nu\gamma^\rho(-2\eta^{\mu\sigma}-\gamma^\sigma\gamma^\mu)\}\nonumber\\ =&8(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})-\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)\nonumber \end{align}$$
後はここに$(\mu,\nu,\rho,\sigma)=(0,1,2,3)$代入すれば、
$$\mathrm{tr}\gamma_5\coloneqq i\mathrm{tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=-i\mathrm{tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=-\mathrm{tr}\gamma_5$$
となるから、確かに$\gamma_5$はトレースレスであると言える。さらに、後半部分も以下のように示すことが出来る。
$$[\gamma_5,\mathcal{J}^{\mu\nu}]=\dfrac{i}{4}(\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma_5\gamma^\nu\gamma^\mu-\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_5+\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma_5)=\dfrac{i}{2}(\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_5)=0$$

問題

ガンマ行列を用いて、$\mathcal{J}^{\mu\nu}$が

$$\begin{equation} \mathcal{J}^{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cc} \sigma^{\mu\nu}&0\\ 0&\bar{\sigma}^{\mu\nu} \end{array} \right)\tag{25} \end{equation}$$

と与えられることを示せ。但し、

$$\begin{equation} \sigma^{\mu\nu}=\dfrac{i}{4}(\sigma^\mu\bar{\sigma}^\nu-\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu)　、　\bar{\sigma}^{\mu\nu}=\dfrac{i}{4}(\bar{\sigma}^\mu\sigma^\nu-\bar{\sigma}^\nu\sigma^\mu)。\tag{26} \end{equation}$$

解答

(19)を用いると、以下のように計算できる。
$$\mathcal{J}^{\mu\nu}=\dfrac{i}{4}\left\{ \left( \begin{array}{cc} 0&\sigma^\mu\\ \bar{\sigma}^\mu&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0&\sigma^\nu\\ \bar{\sigma}^\nu&0 \end{array} \right)- \left( \begin{array}{cc} 0&\sigma^\nu\\ \bar{\sigma}^\nu&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 0&\sigma^\mu\\ \bar{\sigma}^\mu&0 \end{array} \right) \right\}=\left( \begin{array}{cc} \sigma^{\mu\nu}&0\\ 0&\bar{\sigma}^{\mu\nu} \end{array} \right)$$