常微分方程式演習1

今回は直接積分できる形の常微分方程式の問題演習をしましょう。

問題1

(1)
$y’=x^2$の一般解を求めよ。更に、初期条件「$x=1$で$y=\frac{2}{3}$」のときの特殊解を求めよ。

(2)
$y’=\frac{1}{1-x^2}$の一般解を求めよ。更に、初期条件「$x=0$で$y=2$」のときの特殊解を求めよ。

解答1

(1)
求める一般解は
\[
y=\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C　(C:任意定数)
\]
求める特殊解は、上の一般解に$(x,y)=(1,\frac{2}{3})$を代入すれば$C=\frac{1}{3}$となるので
\[
y=\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}
\]

(2)
求める一般解は
\[
y=\int \frac{1}{x^2 – 1} dx = \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)dx=\frac{1}{2}\left(\log{\Bigl|\frac{1+x}{1-x}\Bigr|}\right)+\frac{1}{2}C　(C:任意定数)
\]
求める特殊解は、上の一般解に$(x,y)=(0,2)$を代入すれば$C=4$となるので
\[
y=\frac{1}{2}\left(\log{\Bigl|\frac{1+x}{1-x}\Bigr|}\right)+2
\]