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【大学院入試対策】常微分方程式演習4

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常微分方程式演習4

今回は1階線型の常微分方程式の問題演習をしましょう。

問題4

次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1)
y2=x+1

(2)
yysinx=sinxcosx

(3)
y+ycotx=5ecosx (0<x<π)

(4)
x3y+(23x2)y=x3 (x>0)

(5)
xyy=x2logx

解答4

(1)
(a)

yy=0y0
log|y|=x+C0 (C0:)  y=±eC0ex=Cex (C:0)


y=0y=0y=0
したがってCの定義を変えれば
y=Cex (C:)

(b)

CxC(x)
y=C(x)ex()


を与えられた非同次方程式に代入すると
yy=C(x)ex+C(x)exC(x)ex=x+1  C(x)=(x+1)ex

これを解けば
C(x)=(x+1)ex+exdx=(x+2)ex+A (A:)

これを()に代入すれば求める一般解は
y=Aex(x+2)

 

(2)
(a)

yysinx=0
y=Cexp(cosx) (C:)


と容易に分かる。

(b)

CxC(x)
y=C(x)exp(cosx)()


を与えられた非同次方程式に代入すると
yysinx=C(x)exp(cosx)+C(x)sinxexp(cosx)C(x)sinxexp(cosx)=sinxcosx

 C(x)=sinxcosxexp(cosx)

これを解けば
C(x)=sinxcosxexp(cosx)dx=cosxexp(cosx)sinxexp(cosx)dx=(1cosx)exp(cosx)+A (A:)

これを()に代入すれば求める一般解は
y=Aexp(cosx)+1cosx

 

(3)
(a)

y+ycotx=0cotxcosxsinx 
y=Csinx (C:)  

(b)

CxC(x)
y=C(x)sinx ()


を与えられた非同次方程式に代入すると
y+ycotx=C(x)sinx+C(x)cosxC(x)cosxsin2x=5exp(cosx)  C(x)=5sinxexp(cosx)

これを解けば
C(x)=5exp(cosx)+A (A:)

これを()に代入すれば求める一般解は
y={5exp(cosx)+A}sinx

 

(4)
 y+(23x2x3)y=1 (x>0)()


(a)

y+(23x2x3)y=0
y=Cx3exp(1x2) (C:)  

(b)

CxC(x)
y=C(x)x3exp(1x2) ()


()に代入すると
y+(23x2x3)y=C(x)x3exp(1x2)=1

これを解けば
C(x)=12exp(1x2)+A (A:)

これを()に代入すれば求める一般解は
y=x3{12+Aexp(1x2)}

 

(5)
 yyx=xlogx()


(a)

yyx=0
y=Cx (C:)  

(b)

CxC(x)
y=C(x)x ()


()に代入すると
C(x)+C(x)C(x)=xlogx C(x)=logx

これを解けば
C(x)=x(logx1)+A (A:)

これを()に代入すれば求める一般解は
y=x2(logx1);Ax

(a)の途中の積分で、yy=1x  log|y|=log|x|+C0 (C0:)という積分が出てきますが、与式でlogxと書かれていることからx>0は自明であるので、今の場合、log|x|logxとすることが出来て後の積分をすることが出来ます。このように隠れた条件から絶対値を外せる場合もよく見られますので問題を解く際には積分をしたときの付け忘れだけでなく、条件を見落として外し忘れてしまうことにも十分に注意しましょう。

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