弦理論入門10
閉じた超弦
閉じた超弦のセクターは4つの異なる方法で構成される。右に動くと左に動く弦はそれぞれ開弦のNS セクターとR セクターに似ている。時空の点の見方から、先の状態に関するNS-NS セクターとR-R セクターが時空のBoson となり、これに対して、NS-R セクターとR-NS セクターが時空のFermion となる。
閉弦では、表で与えた開弦の状態を2つ複製することによって最低状態を得る。閉弦の最低状態は表に与えてある。但し、+と−はここでもFermion的な数exp(iπF)に対応している。表の表現には次のような性質がある。28、56t、35±にはそれぞれ2形式、3形式、4形式を表現している。但し、4形式は自己双対条件を満たしている。35は2階の対称トレースレステンソルである。56、56′はベクトルスピノールであり、グラビティ―ノに対応している。
| セクター | SO(8)表現 | M2 |
| (NS+,NS+) | 8 v⊗8 v=1⊕28⊕35 | 0 |
| (NS−,NS−) | 1 | −1/2α′ |
| (R+,R+) | 8 ⊗8 =1⊕28⊕35+ | 0 |
| (R−,R−) | 8′ ⊗8′ =1⊕28⊕35− | 0 |
| (R+,R−) | 8 ⊗8′ =8 v⊕56t | 0 |
| (NS+,R+) | 8 v⊗8 =8′ ⊕56 | 0 |
| (NS+,R−) | 8 v⊗8′ =8 ⊕56′ | 0 |
超対称性のある閉弦の最低状態
GSO 射影は4つのコンシステントな10次元の閉弦の理論を生じる。この後見ていくように、ゲージ・重力双対では、そのうちの2つ、IIA 型超弦理論とIIB 型超弦理論に特に興味がある。これらは次のセクターを有している。
{Type IIA:(NS+,NS+),(R+,NS+),(NS+,R−),(R+,R−)Type IIB:(NS+,NS+),(R+,NS+),(NS+,R+),(R+,R+)
IIB 型理論はいつでもFermion 的な数が+1となるので、カイラルな構造を持つ。表の結果を用いることで、これを表現に対応させることが出来て、
Type IIA:1⊕8v⊕28⊕56t⊕35⊕8⊕8′⊕56⊕56′Type IIB:12⊕282⊕35⊕35+⊕8′2⊕562
となる。IIA 型理論はカイラリティが異なるスピノール8、8′とスピノール56、56′を有している。他方で、IIB 型理論は先に述べたようにカイラルな理論である。56、56′は35表現に対応しているグラビトンの超パートナーであるグラビティ―ノに対応している。
NS-NS セクターは場ϕ、BMN、gMNを有している。これらはSO(8)の1、28、35に対応している。これらの場はBoson 的弦理論を論じた際にお目にかかっている。他方で、NS-R セクターやR-NS セクターなどの混合セクターには超パートナーであるグラビティーノやディラティーノなどが含まれている。R-R セクターは基底状態の縮退によってより複雑になっている。カイラリティが異なることにより、2つの同等でないR-R 基底状態が存在し、これらはIIA 型超弦理論とIIB 型超弦理論に対応している。IIB 型理論には左に動くセクターと右に動くセクターは同じカイラリティを有しており、零質量の準位にはスカラー場C(0)、2階反対称テンソル場C(2)、4階反対称テンソル場C(4)が住んでいる。2つのカイラリティが逆のR-R 状態のIIA 型理論には反対称テンソル場C(1)、C(3)が住んでいる。
1980年代から1990年代に発見されたように、超弦理論には更にI 型理論とゲージ群SO(32)及びE8×E8の下でのヘテロティック弦理論、すなわち、SO(32)ヘテロ型理論とE8×E8ヘテロ型理論として知られる合計3つのコンシステントな理論が存在している。これらはお互いに、そしてII 型理論と双対性のウェブによって繋げられる。しかし、ここでの目的においては、II 型理論のみに注目するだけで充分である。
