古典統計力学
平方二乗平均速度(RMS 速度)、平均速度、最頻速度
気体分子運動論に依れば、N個の分子の内部エネルギーは、次のように与えられる。
U=32NkBT
この分子の1個あたりの質量がmだとして、分子の運動エネルギーがこの内部エネルギーと等しいとすると、
vrms=√3kBTm
を得る。これを分子の平方二乗平均速度(root-mean-square speed, RMS 速度)と呼ぶ。分子のRMS 速度は驚くほど速く、例えば室温における水素分子のRMS 速度は1920~m/s である。これは弾丸の速さよりも速い。
RMS 速度は気体分子の速さについて大まかなイメージを与えてくれるが、RMS 速度よりも速い分子はどれくらい存在しているのかなどの疑問も浮かんでくる。Maxwell は気体分子の速度分布を見出す問題を初めて解いた。彼はMaxwell の速度分布と呼ばれる確率分布、
P(v)=4π(m2πkBT)32v2exp(−mv22kBT)
を見出した。ここでvは分子の速さ、mは気体の質量、kBはBoltzmann 定数、Tは気体の温度である。この分布関数は∫∞0dvP(v)=1となるように規格化されている。気体分子の平均速度vavgは、
vavg=∫∞0vP(v)dv=√8kBTπm
と得られる。同様に、速さの二乗平均(v2)avgは、
(v2)avg=∫∞0v2P(v)dv=3kBTm
と得られる。これはRMS 速度vrmsの二乗に等しい。最頻速度vP、すなわち、P(v)が最大となる速さは、
dP(v)dv=0 ⟺ vP=√2kBTm
と得られる。
気体中の音速
波動論の章でも触れた通り、気体中の音速vSoundは、以下の式で与えられる。
vSound=√Kρ
ここで、Kは体積弾性率と呼ばれる量であり、理想気体においては一般にK=γPが成り立つ。よって、
vSound=√γPρ=√γPVNm=√γkBTm
が得られる。室温(15 C∘)での音速はおよそ340[m/s] であることが知られている。実際、γ=75、kB=1.38×10−23[J/K]、T=288[K]、m=14×2×10−3/(6.02×1023)[kg] を代入すれば、vSound≃346[m/s] と得られる。酸素やアルゴンの効果も取り入れると340[m/s] に近付いていく。