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$\text{sn}$関数

楕円関数論における $\text{sn}(u, k)$ 関数は、ヤコビ楕円関数 (Jacobi elliptic functions) の一つであり、楕円積分の逆関数として定義される。具体的には、$\text{sn}$ は以下のように定義される。

定義

$\text{sn}(u, k)$ は、以下の初等楕円積分の逆関数である。
\[
u = \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 – k^2 \sin^2\theta}},
\]
ここで$u$ は積分の値 (実数) であり、$\text{sn}(u, k)$ はこれに対応する角度 $\phi$ に関連する関数である。また、$k$ は楕円のモジュラスまたは楕円率で、$0 \leq k \leq 1$ を満たす定数である。

$\text{sn}(u, k)$ は次のように定義される。
\[
\text{sn}(u, k) = \sin\phi, \quad \text{where } u = \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 – k^2 \sin^2\theta}}.
\]

$\text{sn}(u, k)$ は三角関数 $\sin$ の一般化であり、$k = 0$ の場合には通常の三角関数と一致する。この関数は物理学、特に振動や波動、力学に関連する問題で頻繁に現れます。

例えば、振り子の振動はふれ角が小さい場合は単振り子として近似できるが、そうでないばあいはこの楕円関数を用いて定式化することになる。

ここまでで$\vartheta$関数の性質を様々なタイプで導出した。これらを$\text{sn}$関数などと関連付けよう。
さて、これまでの結果から、
\[
\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{sn}\ w=\sqrt{e_1-e_3}\frac{\sigma(u)}{\sigma_3(u)}\\\displaystyle\mathrm{cn}\ w=\frac{\sigma_1(u)}{\sigma_3(u)}\hspace{2cm}\left(w=u\sqrt{e_1-e_3}\right)\\\displaystyle\mathrm{dn}\ w=\frac{\sigma_2(u)}{\sigma_3(u)}\end{array}\right.
\]
であることが分かる。更に、以下の結果も導くことができる。

\[
\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{sn}\ w=\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_1(v)}{\vartheta_0(v)}\\\displaystyle\mathrm{cn}\ w=\frac{\vartheta_0}{\vartheta_2}\frac{\vartheta_2(v)}{\vartheta_0(v)}\\\displaystyle\mathrm{dn}\ w=\frac{\vartheta_0}{\vartheta_3}\frac{\vartheta_3(v)}{\vartheta_0(v)}\end{array}\right.
\]

更に、$k^2$の式を
\[
k^2=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{{\vartheta_2}^4}{{\vartheta_3}^4}
\]
とすることができるから、$k^2$は以下のようにあらわすことができる。
\begin{eqnarray*}k^{\prime2}&=&1-k^2=\frac{{\vartheta_3}^4-{\vartheta_2}^4}{{\vartheta_3}^4}\\&=&\frac{{\vartheta_0}^4}{{\vartheta_3}^4}\hspace{2cm}\end{eqnarray*}

これらを用いると、$\text{sn} w$などは以下のように書き直される。
\[
\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathrm{sn}\ w=\frac{1}{\sqrt{k}}\frac{\vartheta_1(v)}{\vartheta_0(v)}\\\displaystyle\mathrm{cn}\ w=\frac{\sqrt{k^\prime}}{\sqrt{k}}\frac{\vartheta_2(v)}{\vartheta_0(v)}\\\displaystyle\mathrm{dn}\ w=\sqrt{k^\prime}\frac{\vartheta_3(v)}{\vartheta_0(v)}\end{array}\right.
\]

$\text{sn}$関数などでは$K, iK’$などは既知であるとして良い。すなわち、
\[
\tau=\frac{\omega_3}{\omega_1}=\frac{iK^\prime}{K}
\]
が求まり、$q$も求まる。そこで$\vartheta$関数を用いて$\text{sn, cn, dn}$の関数の値が計算される。

参考文献

参考文献は以下の通り。

[1]竹内端三，『楕円関数論』，岩波書店，1936
出版社在庫無し、著作権消失済み。

[2]E.T. Whittaker, et al., A Course of Modern Analysis　(AMS PRESS, 1927)
著作権消失済み。

[3]戸田盛和，『楕円関数入門』，日本評論社，2001

[4]戸田盛和，『臨時別冊・数理科学SGC ライブラリ49　　ソリトンと物理学』，サイエンス社，2006
同出版社より電子書籍の形で復刊済み。

[5]Landau・Lifshitz，『力学』，東京図書，2017