$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
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$\wp$、$\zeta$、及び$\sigma$関数の加法公式

今$\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)$の式において$u$を変数と考え、$v$を周期に等しくない定数とする。そうすればこの式は一つの楕円関数で、その極は$0、0$に、零点は$v、-v$にある。ゆえに前回の(I)の表示式により
\[
\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=C\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u+v\right)}{\sigma\left(u\right)^2}
\]
とおくことが出来る。この各辺を$u$の冪級数に展開すれば
\[
\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=\frac{1}{u^2}-\cdots
\]
\[
C\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u-v\right)}{\sigma\left(u\right)^2}=C\frac{-\sigma\left(v\right)^2+\cdots}{\left(u+\cdots\right)^2}=-C\frac{\sigma\left(v\right)^2}{u^2}+\cdots
\]
ゆえに両辺を比較して$\displaystyle C=-\frac{1}{\sigma\left(v\right)^2}$を得る。これを前の表示式に入れれば
\[
\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)=-\frac{\sigma\left(u-v\right)\sigma\left(u+v\right)}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(v\right)^2}\tag{1}
\]
となる、これは重要な公式である。ただし上の証明では$v$を仮に定数としたのであるが、実は周期以外の値ならば何でもよいのであるから、(1)においては$u$、$v$共に変数と考えてよい。
　(1)の両辺の対数をとり、これを$u$及び$v$に関して偏微分すれば次の式を得る。
\begin{eqnarray*}
\frac{\wp’\left(u\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}&=&\zeta\left(u-v\right)+\zeta\left(u+v\right)-2\zeta\left(u\right)\\
\frac{-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}&=&-\zeta\left(u-v\right)+\zeta\left(u+v\right)-2\zeta\left(v\right)
\end{eqnarray*}
これを辺々加えれば
\[
\zeta\left(u+v\right)=\zeta\left(u\right)+\zeta\left(v\right)+\frac{1}{2}\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\tag{2}
\]
の結果を得る。これを$\zeta$関数の加法公式という。

　注意： 第16回で述べた加法公式の定義によれば$\zeta\left(u+v\right)$を$\zeta\left(u\right)、\zeta\left(v\right)$のみで表さなければならない訳であるが、それは後に述べるように実は不可能なのでやむを得ず$\wp\left(u\right)$等を混ぜるのである。しかし$\wp\left(u\right)=-\zeta’\left(u\right)$であることを利用すれば(2)の右辺は$\zeta\left(u\right)、\zeta\left(v\right)$及びその第二次までの導関数で表される。ゆえに広義においてこれを$\zeta$の加法公式といってもよい訳である。
　(2)の両辺をさらに$u$で偏微分すれば次の式を得る。
\[
\wp\left(u+v\right)=\wp\left(u\right)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial u}\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\tag{3}
\]
これすなわち$\wp$関数の加法公式である。
　(3)の右辺における微分を実行し、その結果を整理すれば
\[
\wp\left(u+v\right)=\frac{\displaystyle2\left\{\wp\left(u\right)\wp\left(v\right)-\frac{1}{4}g_2\right\}\left\{\wp\left(u\right)+\wp\left(v\right)\right\}-g_3-\wp’\left(u\right)\wp’\left(v\right)}{2\left\{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)\right\}^2}
\]
となる。なおその他種々の形に書き直すことが出来るが、その計算は各自の演習にすることにして、そのいくつかの結果のみをここに記しておく。
\[
\wp\left(u+v\right)+\wp\left(u\right)+\wp\left(v\right)=\frac{1}{4}\left\{\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}\right\}^2\tag{4}
\]
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\wp\left(u\right) & \wp’\left(u\right) & 1 \\
\wp\left(v\right) & \wp’\left(v\right) & 1 \\
\wp\left(w\right) & \wp’\left(w\right) & 1
\end{array}\right|=0\hspace{1cm}ただしu+v+w=\left(周期\right)\tag{5}
\]
　注意： 1。 (5)は今までの諸式からも誘導されるが、次の方針でも独立に証明される。まず(5)の左辺の行列式だけを考え、$w$の代わりに$z$の変数を入れれば、この行列式は$z$に関する第三位の楕円関数である。そしてその極は$0、0、0$にあり、零点の中二つは$u、v$である。ゆえに残りの一つを$w$とすれば、第23回定理6により、$u+v+w=0+0+0+\left(周期\right)$。これからただちに(5)を得る。
　注意： 2。$\wp$関数の加法公式は$\wp\left(u+v\right)$、$\wp\left(u\right)$、$\wp\left(v\right)$、$\wp’\left(u\right)$、$\wp’\left(v\right)$を含んでいるが、既に知られるように$\wp^{‘2}$は$\wp$の三次式で表されるから、結局加法公式は
\[
R\left\{\wp\left(u+v\right)、\wp\left(u\right)、\wp\left(v\right)\right\}=0\hspace{1cm}\left(Rは有理整式\right)
\]
の形に書かれる。この性質を称して$\wp$関数は代数的加法公式をもつという。
　さて最後に$\sigma$関数の加法公式を求めるのであるが、これもある意味において広義のものしか出来ない。まず$A、B、C、D$を任意の数とすると
\[
\left(A-B\right)\left(C-D\right)+\left(A-C\right)\left(D-B\right)+\left(A-D\right)\left(B-C\right)=0
\]
が恒等式であることは明らかである。そこで今特に
\[
A=\wp\left(u\right)、\ \ \ B=\wp\left(u_1\right)、\ \ \ C=\wp\left(u_2\right)、\ \ \ D=\wp\left(u_3\right)
\]
とおく、ただし$u、u_1、u_2、u_3$は各独立な変数とする。前の(1)により
\[
A-B=\wp\left(u\right)-\wp\left(u_1\right)=-\frac{\sigma\left(u+u_1\right)\sigma\left(u-u_1\right)}{\sigma\left(u\right)^2\sigma\left(u_1\right)^2}
\]
$C-D$、その他についても同様に計算し、それらを上の恒等式に入れ、分母を払えば次の式を得る。
\begin{align}
&\sigma\left(u+u_1\right)\sigma\left(u-u_1\right)\sigma\left(u_2+u_3\right)\sigma\left(u_2-u_3\right)\\
+&\sigma\left(u+u_2\right)\sigma\left(u-u_2\right)\sigma\left(u_3+u_1\right)\sigma\left(u_3-u_1\right)\\
+&\sigma\left(u+u_3\right)\sigma\left(u-u_3\right)\sigma\left(u_1+u_2\right)\sigma\left(u_1-u_2\right)=0
\end{align}
これを$\sigma$関数の加法公式という。
　(6)において
\[
u+u_1=a、~~~ u-u_1=b、~~~ u_2+u=c、~~~ u_2-u_3=d
\]
とおけば、加法公式は次の形にも書かれる。
\begin{align}
&\sigma(a)\sigma(b)\sigma(c)\sigma(d)+\sigma(a’)\sigma(b’)\sigma(c’)\sigma(d’)\\
&+\sigma\left(a”\right)\sigma\left(b”\right)\sigma\left(c”\right)\sigma\left(d”\right)=0\\
&ただし\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle a’=\frac{1}{2}\left(a+b+c+d\right)\\
\displaystyle b’=\frac{1}{2}\left(a+b-c-d\right)\\
\displaystyle c’=\frac{1}{2}\left(a-b+c-d\right)\\
\displaystyle d’=\frac{1}{2}\left(-a+b+c-d\right)
\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle a”=\frac{1}{2}\left(a+b+c-d\right)\\
\displaystyle b”=\frac{1}{2}\left(a+b-c+d\right)\\
\displaystyle c”=\frac{1}{2}\left(a-b+c+d\right)\\
\displaystyle d”=\frac{1}{2}\left(a-b-c-d\right)
\end{array}\right.
\end{align}