$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}}
\def\coloneqq{{:=}}$

$\wp$関数の乗法公式

既に$\wp$関数の加法公式を知っているから、それによって$\wp\left(2u\right)、\wp\left(3u\right)、\cdots$等を$\wp\left(u\right)$で表すことが出来るはずであるがその計算は非常に面倒である。試しに$\wp\left(2u\right)$を求めてみよう。　前回(4)において$v=u$とおくと右辺が不定形になるから、まず
\[
\lim_{v\rightarrow u}\frac{\wp’\left(u\right)-\wp’\left(v\right)}{\wp\left(u\right)-\wp\left(v\right)}=\lim_{v\rightarrow u}\frac{\wp^{”}\left(v\right)}{\wp’\left(v\right)}=\frac{\displaystyle6\wp\left(u\right)^2-\frac{1}{2}g_2}{\wp’\left(u\right)}
\]
として、次の式を得る。
\[
\wp\left(2u\right)+2\wp\left(u\right)=\frac{1}{4}\frac{\displaystyle\left\{6\wp\left(u\right)^2-\frac{1}{2}g_2\right\}^2}{\wp’\left(u\right)^2}
\]
したがって
\begin{eqnarray*}
\wp\left(2u\right)&=&\frac{1}{4}\frac{\displaystyle\left\{6\wp\left(u\right)^2-\frac{1}{2}g_2\right\}^2}{4\wp\left(u\right)^3-g_2\wp\left(u\right)-g_3}-2\wp\left(u\right)\\
&=&\frac{\displaystyle\wp\left(u\right)^4+\frac{1}{2}g_2\wp\left(u\right)^2+2g_3\wp\left(u\right)+\frac{1}{16}{g_2}^2}{4\wp\left(u\right)^3-g_2\wp\left(u\right)-g_3}
\end{eqnarray*}
これでは$\wp\left(3u\right)$を求めるのすら容易でない、そこで次のような工夫をする。前回(1)の公式において、$u、v$をそれぞれ$nu、u$とおく、ただし$n$は自然数とする。
\[
\wp\left(nu\right)-\wp\left(u\right)=-\frac{\displaystyle\sigma\left(\overline{n+1}u\right)\sigma\left(\overline{n-1}u\right)}{\sigma\left(nu\right)^2\sigma\left(u\right)^2}\tag{1}
\]
これをさらに変形するために今
\[
\psi_n\left(u\right)=\frac{\sigma\left(nu\right)}{\sigma\left(u\right)^{n^2}}
\]
とおけば、(1)は次のようになる。
\[
\wp\left(nu\right)=\wp\left(u\right)-\frac{\psi_{n+1}\left(u\right)\psi_{n-1}\left(u\right)}{\psi_n\left(u\right)^2}\tag{2}
\]
　ここで$\psi_n\left(u\right)$の関数について考えてみる。まずこれは$u$の楕円関数である、試しに$u$に$2\omega_1$を加えれば
\begin{eqnarray*}
\psi_n\left(u+2\omega_1\right)&=&\frac{\sigma\left(nu+2n\omega_1\right)}{\sigma\left(u+2\omega_1\right)^{n^2}}\\
&=&\frac{\left(-1\right)^ne^{2n\eta_1\left(nu+n\omega_1\right)}\sigma\left(nu\right)}{\left(-1\right)^{n^2}e^{2n^2\eta_1\left(u+\omega_1\right)}\sigma\left(u\right)^{n^2}}\\
&=&\frac{\sigma\left(nu\right)}{\sigma\left(u\right)^{n^2}}=\psi_n\left(u\right)
\end{eqnarray*}
さて$\psi_n\left(u\right)$は楕円関数であってかつ$n$が奇数ならば偶関数、偶数ならば奇関数である（証明は容易につき略す）。ゆえに$\psi_n\left(u\right)$は$n$が奇数ならば$\wp\left(u\right)$の有理関数、$n$が偶数ならば$\wp\left(u\right)$の有理関数に$\wp’\left(u\right)$をかけたものに等しい（これは次回で証明する）。次にその式を今少し詳しく調べよう。
　まず$n$を奇数とする。$\psi_n\left(u\right)$はその定義からただちにわかる通り基本周期平行四辺形内では$u=0$においてのみ極をもち、その位数は明らかに$n^2-1$である。ゆえに$\psi_n\left(u\right)$を$\wp\left(u\right)$で表せば、$\wp\left(u\right)\rightarrow\infty$のときにのみ$\psi_n\left(u\right)\rightarrow\infty$となるから、$\wp\left(u\right)$の有理整関数であってその次数は$\displaystyle\frac{n^2-1}{2}$でなければならない。すなわち
\[
\psi_n\left(u\right)=c_0\wp\left(u\right)^{\frac{n^2-1}{2}}+c_1\wp\left(u\right)^{\frac{n^2-3}{2}}+\cdots
\]
両辺を$u$の冪級数に展開し、その最低冪の項の係数を比較すれば$c_0=n$であることを知る。ゆえに
\[
\psi_n\left(u\right)=n\wp\left(u\right)^{\frac{n^2-1}{2}}+\cdots
\]
　$n$が偶数のときは$\psi_n\left(u\right)$を$\wp’\left(u\right)$で割ったものについて上と同様に考えれば、
\[
\psi_n\left(u\right)=\wp’\left(u\right)\left\{-\frac{n}{2}\wp\left(u\right)^{\frac{n^2-4}{2}}+\cdots\right\}
\]
であることが証明される。
　よって一般に$n$が奇数のときは$\psi_n\left(u\right)=P_n$、$n$が偶数のときは$\psi_n\left(u\right)=\wp’\left(u\right)P_n$
とおくことにすれば、(2)は次のようになる。
　$n$が奇数のときは
\[
\wp\left(nu\right)=\wp\left(u\right)-\frac{\wp’\left(u\right)^2P_{n+1}P_{n-1}}{{P_n}^2}\tag{3}
\]
　$n$が偶数のときは
\[
\wp\left(nu\right)=\wp\left(u\right)-\frac{P_{n+1}P_{n-1}}{\wp’\left(u\right)^2{P_n}^2}\tag{4}
\]
　これによって$\wp\left(nu\right)$の式を求める問題は一般に$P_n$を求めることに帰着されたが、その$P_n$を求めるには次のような方法による。
　$m、n$を二つの異なる自然数とし、
\begin{eqnarray*}
\wp\left(mu\right)-\wp\left(u\right)&=&-\frac{\psi_{m+1}\left(u\right)\psi_{m-1}\left(u\right)}{\psi_m\left(u\right)^2}\\
\wp\left(nu\right)-\wp\left(u\right)&=&-\frac{\psi_{n+1}\left(u\right)\psi_{n-1}\left(u\right)}{\psi_n\left(u\right)^2}
\end{eqnarray*}
辺々引けば（右辺では$\left(u\right)$を略す）
\[
\wp\left(mu\right)-\wp\left(nu\right)=-\frac{\psi_{m+1}\psi_{m-1}{\psi_n}^2-\psi_{n+1}\psi_{n-1}{\psi_m}^2}{{\psi_m}^2{\psi_n}^2}\tag{5}
\]
一方においてまた前回(1)によれば
\[
\wp\left(mu\right)-\wp\left(nu\right)=-\frac{\sigma\left(\overline{m+n}u\right)\sigma\left(\overline{m-n}u\right)}{\sigma\left(mu\right)^2\sigma\left(nu\right)^2}
\]
したがって
\[
\wp\left(mu\right)-\wp\left(nu\right)=-\frac{\psi_{m+n}\psi_{m-n}}{{\psi_m}^2{\psi_n}^2}\tag{6}
\]
(5)と(6)を比較すれば次の関係を得る、
\[
\psi_{m+n}\psi_{m-n}=\psi_{m+1}\psi_{m-1}{\psi_n}^2-\psi_{n+1}\psi_{n-1}{\psi_m}^2
\]
特に$m=n+1$とすれば
\[
\psi_{2n+1}=\psi_{n+2}{\psi_n}^3-{\psi_{n+1}}^3\psi_{n-1}
\]
また$m、n$をそれぞれ$n+1、n-1$とすれば
\[
-\wp’\left(u\right)\psi_{2n}=\psi_n\left(\psi_{n+2}{\psi_{n-1}}^2-{\psi_{n+1}}^2\psi_{n-2}\right)
\]
この最後の二式を$P$に関する公式に直せば次のようになる。
\begin{align}
P_{2n+1}=&\left\{\begin{array}{ll}
P_{n+2}{P_n}^3-\wp’\left(u\right)^4{P_{n+1}}^3P_{n-1} & \left(nは奇数\right)\\
\wp’\left(u\right)^4P_{n+2}{P_n}^3-{P_{n+1}}^3P_{n-1} & \left(nは偶数\right)
\end{array}\right.\\
P_{2n}=&-P_n\left(P_{n+2}{P_{n-1}}^2-{P_{n+1}}^2P_{n-2}\right)
\end{align}
これによって$n\leqq4$のときの$P_n$を知れば$n\gt4$のときの値は全て算出される。$n\leqq4$のときの$P_n$は実際の計算によって次のようになることが知られる、
\begin{align}
P_1=&1、\hspace{1.5cm}P_2=-1\\
P_3=&3\wp\left(u\right)^4-\frac{3}{2}g_2\wp\left(u\right)^2-3g_3\wp\left(u\right)-\frac{1}{16}{g_2}^2\\
P_4=&-2\wp\left(u\right)^6+\frac{5}{2}g_2\wp\left(u\right)^4+10g_3\wp\left(u\right)^3+\frac{5}{8}{g_2}^2\wp\left(u\right)^2\\
&\hspace{2cm}+\frac{1}{2}g_2g_3\wp\left(u\right)+{g_3}^2-\frac{1}{32}{g_2}^3
\end{align}
これからただちに判る通り一般に
\[
P_n=\sum C_{\lambda、\mu、\nu}{g_2}^\lambda{g_3}^\mu\wp\left(u\right)^\nu\hspace{1cm}\left(Cは有理定数\right)
\]
で、ここに$\lambda、\mu、\nu$は
\[
2\lambda+3\mu+\nu=\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\ \ \ & \left(nが奇数のとき\right)\\
\displaystyle\frac{n^2-4}{2}\ \ \ & \left(nが偶数のとき\right)
\end{array}\right.
\]
を満たすあらゆる負でない整数値をとるものとする。