$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}} \def\caln{{\mathcal{N}}}$

トイモデル

ここまでで我々はPoincare 代数を超対称性代数に拡張した。勿論、超対称性変換において不変であり、Noether 電荷が超対称性代数の下で発生するような場の理論が見つけられるのかという疑問が生ずるであろう。この小節では、最も簡単なモデルとして、成分が$\psi_\alpha$の左巻きフェルミオンと複素スカラー場$\phi$の$\caln=1$超対称性カイラル多重項に基づいた$4$次元の超対称性場の理論を考える。

簡単のため、質量と相互作用がない場合を考えよう。このときのLagrangian は、

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-i\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi\tag{160} \end{equation}$$

となる。ここで、$\psi$はWeyl フェルミオンであり、これに略記法$\bar{\psi}=\psi^\dagger$を利用する。Lagrangian (160)は以下の超対称性変換の下で不変である。

$$\begin{equation} \delta_\epsilon\phi=\sqrt{2}\epsilon\psi　、　\delta_\epsilon\psi_\alpha=\sqrt{2}i(\sigma^\mu\bar{\epsilon})_\alpha\partial_\mu\phi\tag{161} \end{equation}$$

但し、$\epsilon$（成分は$\epsilon_\alpha$）は、超対称性変換でパラメトライズされた微小で反交換な$2$成分Weyl スピノールである。特に、$\epsilon$は時空の変数$x^\mu$に依存していないから、(161)はLagrangian (160)の大域的対称性になっている。

問題

Lagrangian (160)は超対称性変換(161)の下で不変であることを示せ。(161)において時空依存性$\epsilon(x)$を考えることで、関連する超電流を構成せよ。

解答

$\mathcal{L}_{\mathrm{Scalar}}\coloneqq\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi$、$\mathcal{L}_{\mathrm{Fermion}}\coloneqq -i\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi$とおく。

スカラーの項は、今、$\delta_\epsilon\phi=\sqrt{2}\epsilon\psi$、$\delta_\epsilon\phi^*=\sqrt{2}\bar{\epsilon}\bar{\psi}$だから、
$$\delta\mathcal{L}_{\mathrm{Scalar}}=\sqrt{2}\epsilon\partial_\mu\psi\partial^\mu\phi^*+\sqrt{2}\bar{\epsilon}\partial_\mu\phi\partial^\mu\bar{\psi}$$
となる。一方で、Fermion の項は、今、$\delta_\epsilon\psi=\sqrt{2}i\sigma^\mu\bar{\epsilon}\partial_\mu\phi$、$\delta_\epsilon\bar{\psi}=-\sqrt{2}i\epsilon\sigma^\mu\partial_\mu\phi^*$だから、

$$\begin{align} \delta\mathcal{L}_{\mathrm{Fermion}}=-&\sqrt{2}\epsilon\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu\partial^\nu\phi^*\partial_\mu\psi+\sqrt{2}\bar{\epsilon}\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\sigma^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi\nonumber\\ =&-\sqrt{2}\epsilon\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu\partial_\nu(\phi^*\partial_\mu\psi)+\sqrt{2}\epsilon\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu\phi^*\partial_\nu\partial_\mu\psi+\sqrt{2}\bar{\epsilon}\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\sigma^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi\nonumber \end{align}$$

となる。ここで、$\sigma^\mu$、$\bar{\sigma}^\mu$の定義を思い出せば、

$$\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu=\dfrac{1}{2}\{\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu+\sigma^\mu\bar{\sigma}^\nu\}-\dfrac{1}{2}[\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu-\sigma^\mu\bar{\sigma}^\nu]=\eta^{\nu\mu}-\dfrac{1}{2}[\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu-\sigma^\mu\bar{\sigma}^\nu]$$

である。$[\cdots]$の部分は、$\partial_nu\partial_\mu=\partial_\mu\partial_\nu$という対称性を考慮すれば$0$になるので、
$$\sqrt{2}\epsilon\sigma^\nu\bar{\sigma}^\mu\phi^*\partial_\nu\partial_\mu\psi=\sqrt{2}\epsilon\phi^*\partial^2\psi=\sqrt{2}\epsilon\partial_\mu(\phi^*\partial^\mu\psi)-\sqrt{2}\epsilon\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\psi$$
となる。同様にして、
$$\sqrt{2}\bar{\epsilon}\bar{\psi}\bar{\sigma}^\mu\sigma^\nu\partial_\mu\partial_\nu\phi=\sqrt{2}\bar{\epsilon}\partial_\mu(\bar{\psi}\partial^\mu\phi)-\sqrt{2}\bar{\epsilon}\partial_\mu\bar{\psi}\partial^\mu\phi$$
である。従って、$\delta\mathcal{L}_{\mathrm{Fermion}}$は、
$$\delta\mathcal{L}_{\mathrm{Fermion}}=-\sqrt{2}\epsilon\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\psi-\sqrt{2}\bar{\epsilon}\partial_\mu\bar{\psi}\partial^\mu\phi+\sqrt{2}\partial_\mu(\epsilon\phi^*\partial^\mu\psi-\bar{\epsilon}\bar{\psi}\partial^\mu\phi-\epsilon\phi^*\partial^\mu\psi)$$
となる。従って、スカラーとFermion のLagrangian を合わせると、
$$\delta\mathcal{L}=\sqrt{2}\partial_\mu(\epsilon\phi^*\partial^\mu\psi-\bar{\epsilon}\bar{\psi}\partial^\mu\phi-\epsilon\phi^*\partial^\mu\psi)$$
となる。よって、$\delta \mathcal{S}=\int d^4x\delta\mathcal{L}=0$である。

問題

超対称性に関連したWeyl スピノールNoether 電荷$\mathcal{Q}$を構成せよ。また、同時刻（反）交換関係を用いて以下の式が成り立つことを示せ。
$$\begin{equation} i\delta_\epsilon\phi=[\epsilon\mathcal{Q}+\bar{\epsilon}\bar{\mathcal{Q}},\phi]　、　i\delta_\epsilon\phi=[\epsilon\mathcal{Q}+\bar{\epsilon}\bar{\mathcal{Q}},\psi]\tag{162} \end{equation}$$