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ベクトル超場

第2の超場としてベクトル超場を考えてみよう。ベクトル場$V(x,\theta,\bar{\theta})$は一般の超場(182)に以下の実共変条件を課すことよって決定される。

\begin{equation}
V(x,\theta,\bar{\theta})=V^\dagger(x,\theta,\bar{\theta})\tag{193}
\end{equation}

この実共変条件を満たす、最も一般的な超場は以下で与えられる。

\begin{align}
V(x,\theta,\bar{\theta})=&C(x)+i\theta\chi(x)-i\bar{\theta}\bar{\chi}(x)+\dfrac{i}{2}\theta^2(M(x)+iN(x))-\dfrac{i}{2}\bar{\theta}^2(M(x)-iN(x))\nonumber\\
&-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}A_\mu(x)+i\theta^2\bar{\theta}\left(\bar{\lambda}(x)+\dfrac{i}{2}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\chi(x)\right)-i\bar{\theta}^2\theta\left(\lambda(x)+\dfrac{i}{2}\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\chi}(x)\right)\nonumber\\
&+\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2\left(D(x)+\dfrac{1}{2}\partial_\rho\partial^\rho C(x)\right)\tag{194}
\end{align}

ここで、この式には$8$つのBoson 的自由度がある（複素スカラー場$C(x)$、$2$つの実場$N(x)$と$M(x)$、ベクトル場$A_\mu(x)$）。同様に、Fermion 的自由度も$8$つある（$\chi(x)$、$\bar{\chi}(x)$、$\lambda(x)$、$\bar{\lambda}(x)$）。次に、いくつかの場が$0$になるように取ることの出来るゲージを定義出来ることを見よう。一般のカイラル場$\Phi(x,\theta,\bar{\theta})$とその反カイラル場$\Phi^\dagger(x,\theta,\bar{\theta})$を考えよう。(188)より、これらの和は以下で与えられる。

\begin{align}
\Phi+\Phi^\dagger=&\phi(x)+\phi^*(x)+\sqrt{2}\theta\psi(x)+\sqrt{2}\bar{\theta}\bar{\psi}(x)+\theta^2F(x)+\bar{\theta}^2F^*(x)\nonumber\\
&+i\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\partial_\mu(\phi(x)-\phi^*(x))+\dfrac{i}{\sqrt{2}}\theta^2\bar{\theta}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi(x)+\dfrac{i}{\sqrt{2}}\bar{\theta}^2\theta\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\psi}(x)\nonumber\\
&+\dfrac{1}{4}\theta^2\bar{\theta}^2\partial_\rho\partial^\rho(\phi(x)+\phi^*(x))\tag{195}
\end{align}

このとき、$C(x)=N(x)=M(x)=\chi(x)=\bar{\chi}(x)=0$となるようなゲージ変換、

\begin{equation}
V\mapsto V+\Phi+\Phi^\dagger\tag{196}
\end{equation}

が存在する。このゲージのことを、Wess-Zumino ゲージ、あるいは略してWZ ゲージと呼び、$V_{\mathrm{WZ}}(x,\theta,\bar{\theta})$の展開は

\begin{equation}
V_{\mathrm{WZ}}(x,\theta,\bar{\theta})=-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}A_\mu(x)+i\theta^2\bar{\theta}\bar{\lambda}(x)-i\bar{\theta}^2\theta\lambda(x)+\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2D(x)\tag{197}
\end{equation}

となる。Wess-Zumino ゲージでは、ゲージ場$A_\mu(x)$と、補助場$D$と等価なゲージーノ$\lambda$だけが現れる。

問題

次の式を示せ。

\begin{equation}
V^2_{\mathrm{WZ}}=-\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2A_\mu(x)A^\mu(x)　、　V^n_{\mathrm{WZ}}=0　\mathrm{for}~n\geq3\tag{198}
\end{equation}

解答

$V^n_{\mathrm{WZ}}=0　\mathrm{for}~n\geq3$は自明。$V^2_{\mathrm{WZ}}$の式を示すには以下の公式を利用する。
\[
(\theta\sigma^\mu\bar{\theta})(\theta\sigma^\nu\bar{\theta})=-\dfrac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\theta\theta)(\bar{\theta}\bar{\theta})
\]
これより
\[
V_{\mathrm{WZ}}^2=(\theta\sigma^\mu\bar{\theta})(\theta\sigma^\nu\bar{\theta})A_\mu(x)A^\nu(x)=-\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2A_\mu(x)A^\mu(x)
\]
よって題意は示された。

問題

ゲージ変換(196)を成分に分解することで、それが正準ゲージ変換に対応することを示せ。

解答

以下のように計算する。

\begin{align}
V’=&V+\Phi+\Phi^\dagger=C(x)+\phi(x)+\phi^*(x)+\theta\{i\chi(x)+\sqrt{2}\psi(x)\}+\bar{\theta}\{-i\bar{\chi}(x)+\sqrt{2}\bar{\psi}(x)\}\nonumber\\
&+\theta^2\left[\dfrac{i}{2}\{M(x)+iN(x)\}+F(x)\right]+\bar{\theta}^2\left[\dfrac{i}{2}\{M(x)-iN(x)\}+F^*(x)\right]\nonumber\\
&-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\bigl[A_\mu(x)-i\partial_\mu\{\phi(x)+\phi^*(x)\}\bigr]\nonumber\\
&+\dfrac{i}{2}\theta^2\bar{\theta}\left[2\bar{\lambda}(x)+\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\left\{i\chi(x)+\sqrt{2}\psi(x)\right\}\right]-\dfrac{i}{2}\theta^2\bar{\theta}\left[2\lambda(x)+\sigma^\mu\partial_\mu\left\{i\bar{\chi}(x)-\sqrt{2}\bar{\psi}(x)\right\}\right]\nonumber\\
&+\dfrac{1}{4}\left[2D(x)+\partial_\rho\partial^\rho\left\{C(x)+\phi(x)+\phi^*(x)\right\}\right]\nonumber
\end{align}