【超対称性理論】第29講　ベクトル超場1

$\def\bm#1{{\boldsymbol{#1}}} \def\coloneqq{{:=}} \newcommand{\rmd}{\mathrm{d}} \def\Bra#1{{\left\langle{#1}\right|}} \def\Ket#1{{\left|{#1}\right\rangle}} \def\Braket#1{{\left\langle{#1}\right\rangle}} \def\mathbbm#1{{\mbox{#1}\hspace{-0.20em}\mbox{l}}} \def\caln{{\mathcal{N}}}$

ベクトル超場

第2の超場としてベクトル超場を考えてみよう。ベクトル場 $V(x,\theta,\bar{\theta})$ は一般の超場(182)に以下の実共変条件を課すことよって決定される。

$\begin{equation} V(x,\theta,\bar{\theta})=V^\dagger(x,\theta,\bar{\theta})\tag{193} \end{equation}$

この実共変条件を満たす、最も一般的な超場は以下で与えられる。

$\begin{align} V(x,\theta,\bar{\theta})=&C(x)+i\theta\chi(x)-i\bar{\theta}\bar{\chi}(x)+\dfrac{i}{2}\theta^2(M(x)+iN(x))-\dfrac{i}{2}\bar{\theta}^2(M(x)-iN(x))\nonumber\\ &-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}A_\mu(x)+i\theta^2\bar{\theta}\left(\bar{\lambda}(x)+\dfrac{i}{2}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\chi(x)\right)-i\bar{\theta}^2\theta\left(\lambda(x)+\dfrac{i}{2}\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\chi}(x)\right)\nonumber\\ &+\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2\left(D(x)+\dfrac{1}{2}\partial_\rho\partial^\rho C(x)\right)\tag{194} \end{align}$

ここで、この式には $8$ つのBoson 的自由度がある（複素スカラー場 $C(x)$ 、 $2$ つの実場 $N(x)$ と $M(x)$ 、ベクトル場 $A_\mu(x)$ ）。同様に、Fermion 的自由度も $8$ つある（ $\chi(x)$ 、 $\bar{\chi}(x)$ 、 $\lambda(x)$ 、 $\bar{\lambda}(x)$ ）。次に、いくつかの場が $0$ になるように取ることの出来るゲージを定義出来ることを見よう。一般のカイラル場 $\Phi(x,\theta,\bar{\theta})$ とその反カイラル場 $\Phi^\dagger(x,\theta,\bar{\theta})$ を考えよう。(188)より、これらの和は以下で与えられる。

$\begin{align} \Phi+\Phi^\dagger=&\phi(x)+\phi^*(x)+\sqrt{2}\theta\psi(x)+\sqrt{2}\bar{\theta}\bar{\psi}(x)+\theta^2F(x)+\bar{\theta}^2F^*(x)\nonumber\\ &+i\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\partial_\mu(\phi(x)-\phi^*(x))+\dfrac{i}{\sqrt{2}}\theta^2\bar{\theta}\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\psi(x)+\dfrac{i}{\sqrt{2}}\bar{\theta}^2\theta\sigma^\mu\partial_\mu\bar{\psi}(x)\nonumber\\ &+\dfrac{1}{4}\theta^2\bar{\theta}^2\partial_\rho\partial^\rho(\phi(x)+\phi^*(x))\tag{195} \end{align}$

このとき、 $C(x)=N(x)=M(x)=\chi(x)=\bar{\chi}(x)=0$ となるようなゲージ変換、

$\begin{equation} V\mapsto V+\Phi+\Phi^\dagger\tag{196} \end{equation}$

が存在する。このゲージのことを、Wess-Zumino ゲージ、あるいは略してWZ ゲージと呼び、 $V_{\mathrm{WZ}}(x,\theta,\bar{\theta})$ の展開は

$\begin{equation} V_{\mathrm{WZ}}(x,\theta,\bar{\theta})=-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}A_\mu(x)+i\theta^2\bar{\theta}\bar{\lambda}(x)-i\bar{\theta}^2\theta\lambda(x)+\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2D(x)\tag{197} \end{equation}$

となる。Wess-Zumino ゲージでは、ゲージ場 $A_\mu(x)$ と、補助場 $D$ と等価なゲージーノ $\lambda$ だけが現れる。

問題

次の式を示せ。

$\begin{equation} V^2_{\mathrm{WZ}}=-\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2A_\mu(x)A^\mu(x)　、　V^n_{\mathrm{WZ}}=0　\mathrm{for}~n\geq3\tag{198} \end{equation}$

解答

$V^n_{\mathrm{WZ}}=0　\mathrm{for}~n\geq3$ は自明。 $V^2_{\mathrm{WZ}}$ の式を示すには以下の公式を利用する。

$(\theta\sigma^\mu\bar{\theta})(\theta\sigma^\nu\bar{\theta})=-\dfrac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\theta\theta)(\bar{\theta}\bar{\theta})$
これより

$V_{\mathrm{WZ}}^2=(\theta\sigma^\mu\bar{\theta})(\theta\sigma^\nu\bar{\theta})A_\mu(x)A^\nu(x)=-\dfrac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2A_\mu(x)A^\mu(x)$
よって題意は示された。

問題

ゲージ変換(196)を成分に分解することで、それが正準ゲージ変換に対応することを示せ。

解答

以下のように計算する。

$\begin{align} V’=&V+\Phi+\Phi^\dagger=C(x)+\phi(x)+\phi^*(x)+\theta\{i\chi(x)+\sqrt{2}\psi(x)\}+\bar{\theta}\{-i\bar{\chi}(x)+\sqrt{2}\bar{\psi}(x)\}\nonumber\\ &+\theta^2\left[\dfrac{i}{2}\{M(x)+iN(x)\}+F(x)\right]+\bar{\theta}^2\left[\dfrac{i}{2}\{M(x)-iN(x)\}+F^*(x)\right]\nonumber\\ &-\theta\sigma^\mu\bar{\theta}\bigl[A_\mu(x)-i\partial_\mu\{\phi(x)+\phi^*(x)\}\bigr]\nonumber\\ &+\dfrac{i}{2}\theta^2\bar{\theta}\left[2\bar{\lambda}(x)+\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\left\{i\chi(x)+\sqrt{2}\psi(x)\right\}\right]-\dfrac{i}{2}\theta^2\bar{\theta}\left[2\lambda(x)+\sigma^\mu\partial_\mu\left\{i\bar{\chi}(x)-\sqrt{2}\bar{\psi}(x)\right\}\right]\nonumber\\ &+\dfrac{1}{4}\left[2D(x)+\partial_\rho\partial^\rho\left\{C(x)+\phi(x)+\phi^*(x)\right\}\right]\nonumber \end{align}$

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